Dissertation

2. Grundlagen 19
Für ein polydisperses System erhält man durch Integration über den kompletten
Größenbereich die gesamte Oberfläche und das gesamte Volumen und die
spezifische Oberfläche ist
6 xmax ∫
x 2 q 0 dx
x
S V =
min
x max
. (2.34)
∫
x 3 q 0 dx
x min
Der Sauterdurchmesser ergibt sich dann durch Umstellen
x 32 =
x max ∫
x 3 q 0 (x)dx
x min
x max
≈
∫
x 2 q 0 (x)dx
x min
2.2.5. Verteilungsfunktionen
I∑
¯x 3 i q 0(¯x i )∆x i
i=1
I∑
i=1
¯x 2 i q 0(¯x i )∆x i
= M 3
M 2
. (2.35)
Im Allgemeinen ist der Verlauf der Partikelgrößenverteilungssumme in Form von
Wertepaaren (x i ,Q r ) gegeben. Als Grenzwert für unendlich große Kollektive und
unendlich kleine Intervalle lassen sich Q r und q r auch als stetige Funktionen
deuten, wobei man q r durch Differenzieren von Q r erhält (vgl. Gleichung 2.20).
Die fehlenden Zwischenwerte kann man durch Interpolation beispielsweise mit
kubischen Splines schätzen oder man passt eine möglichst sinnvolle analytische
Funktion an die Daten an. Drei wichtige spezielle Ansätze sind [28]
• die Potenzverteilung
nach Gates, Gaudin und Schuhmann (GGS-Verteilung),
• die Exponentialverteilung
nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennett (RRSB-Verteilung) und
• die Normalverteilung
mit linearer oder logarithmisch geteilter Abszisse.
Der Ansatz der logarithmischen Normalverteilung hat in der Korngrößenanalytik
große Bedeutung [32]. Bei ihr sind die ln(x)-Werte normalverteilt und die
Verteilungsdichte hat die Form
[
1 1
q r (x) = √
σ ln 2π x exp − (ln x − µ ln) 2 ]
2σln
2 , (2.36)
mit
µ ln = ln(x 50,r ). (2.37)
x 50,r ist der Medianwert und σ ln ist die Standardabweichung der ln(x)-Streuung.
Die Verteilungssumme erhält man durch Integration (siehe Gleichung 2.21):
[
]
∫
1 x exp − (ln t−µ ln) 2
2σln
2
Q r (x) = √ dt. (2.38)
σ ln 2π 0 t