Dissertation

4. Talbotinterferometrie für die Partikelanalyse 69
ebene
Welle
Gitter
a
y 0 y
r
R
x 0
r
q
f
Scheibchen
x
z
Beobachtungsebene
Gitterbeugungsebene
z=z g
Partikelbeugungsebene
z=0
Bild 4.19.: Beugung an einem Gitter und einem Partikel.
im Fresnelintegral (Gleichung 4.12), um die Partikelbeugung bei Beleuchtung mit
den bei z g startenden Beugungsordnungen des Gitters zu berechnen:
U(x, z) = ejkz
jλz
∫ ∞
Vereinfachung ergibt
U(x, z) = ∑ n
= ∑ n
·
−∞ −∞
e jkz
jλz
und es folgt schließlich
U(x, z) = ∑ n
∫ ∞ ∑
n
A n e [−jπ(nν)2 λ(−z g)] e (2πjnνx 0) e [ jπ
λz (x−xg)2 ] dx0 . (4.74)
A n e [−jπ(nν)2 λ(−z g)] ejkz
jλz
∫∞
∫∞
−∞ −∞
A n e [−jπ(nν)2 λ(−z g)] e [−jπ(nν)2 λz] e (2πjnνx)
∫∞
∫ ∞
−∞ −∞
e (2πjnνx 0) e [ jπ
λz (x−x 0) 2 ] dx0
e [j π λz (x 0−x+nλνz) 2 ] dx0 (4.75)
{A ⎛ n e −jπ(nν)2 λ(z−z g) e (2πjnνx)} ∫ ∞ ∫ ∞
⎞
⎝ ejkz
e {j π λz [(x−nλνz)−x 0] 2 } dx0 ⎠ .
jλz
−∞ −∞
(4.76)
Gleichung 4.76 ist die resultierende Gleichung, mit deren Hilfe das kombinierte
Lichtfeld als Summe über die gestörten Beugungsordnungen berechnet wird.
Jede Ordnung ist das Produkt aus zwei Teilen. Der Term in geschweiften Klammern
ist das Gitterbeugungsmuster der n-ten Ordnung aus Gleichung 4.16, das
um z g verschoben wurde und wird mit U gn (x, z − z g ) bezeichnet. Die komplexen
Fourierkoeffizienten A n bestimmen dabei die Art des Gitters (vgl. Kapitel 4.1.3).
Der Term in runden Klammern ist das Fresnelintegral (Gleichung 4.12), das in
Kapitel 4.2 gelöst wurde, um das Beugungsbild des Partikels zu erhalten. Allerdings
ist es in x um den Faktor ∆ = nλνz verschoben. Um diese Verschiebung
zu interpretieren wird die n-te Beugungsordnung betrachtet, die auf das Partikel
trifft. Angenommen wird eine verkippte ebene Welle, die einen Winkel α zur