Dissertation

4. Talbotinterferometrie für die Partikelanalyse 63
y
x
z
Partikel
Bild 4.13.: Dreidimensionale Intensitätsverteilung hinter einem undurchsichtigen
Scheibchen.
Für die beleuchtete Region wird das Integral in Gleichung 4.56 in zwei Teile
geteilt:
U p (ρ, z) = 1 [∫ ∞
j uejkz e jk
2z ρ2
Das erste Integral kann mittels
∫ ∞
0
0
∫ 1
]
e jut2
2 J0 (vt) tdt − e jut2
2 J0 (vt) tdt . (4.61)
0
e jut2
2 J0 (vt) tdt = j u e −jv2
2u (4.62)
und das zweite Integral kann mit Hilfe der Lommelfunktionen
ue −ju
2
∫ 1
0
e jut2
2 J0 (vt) tdt = U 1 (u, v) − jU 2 (u, v) (4.63)
evaluiert werden. Die Substitution der Gleichungen 4.62 und 4.63 in 4.61 führt
zur komplexen Amplitude der gebeugten Welle in der beleuchteten Region:
U p (|ρ| > a, z) = 1 [ ]
j uejkz e jk j
2z ρ2 u e −jv2 1
2u −
u e ju 2 (U1 (u, v) − jU 2 (u, v))
[
= e jkz e jk u j
2z ρ2 j u e −jv2 u 1
2u −
j u e ju 2 U1 (u, v) + u ]
1
j u e ju 2 jU2 (u, v)
[
]
= e jkz e jk
2z ρ2 e −jv2 ju
2u + je 2 U1 (u, v) + e ju 2 U2 (u, v) .
Entlang des geometrischen Schattens (v/u = 1) kann Gleichung 4.60 zu
U p (ρ = a, z) = e jkz e jk
2z a2 e ju 2
vereinfacht werden.
{ 1
2 [J 0(v) + cos(v)] − 1 2 j sin(v) }
Für das Feld auf der optischen Achse (v = 0) ergibt sich
(4.64)
(4.65)
U p (ρ = 0, z) = e jkz e ju 2 . (4.66)
Das Beugungsbild eines undurchsichtigen Scheibchens setzt sich folglich aus vier
Teilbildern zusammen. Die Intensität ergibt sich aus dem Betragsquadrat der
komplexen Amplitude I p (ρ, z) = |U p (ρ, z)| 2 . Die Formeln zur Berechnung der