Wechselwirkungen sehr langsamer hochgeladener Ionen mit einer ...

146 B. Ionenspektrometersimulation
B.2 Der mathematische Hintergrund
Gemäß den Maxwell’schen Gleichungen bilden elektrische Ladungen die Quellen
eines elektrischen Feldes. Das von einer Ladungsverteilung ρ(�r) im Gebiet
V generierte elektrostatische Skalarpotential Φ läßt sich an jedem beliebigen
Aufpunkt �r über das Integral
Φ(�r) = 1
4πɛ0
�
V
ρ(�r ′ )
|�r − �r ′ | dr′3
(B.1)
berechnen. In unserem Fall liegt jedoch ein inverses Problem vor: Wir kennen
über die anliegende Spannung das Potential auf den Leiteroberflächen
– die metallischen Gitterdrähte sind Äquipotentialkörper – nicht jedoch die
Ladungsverteilung ρ auf ihnen, welche für die Bestimmung des Potentials an
einem beliebigen Ort �r notwendig ist.
Wir machen folgenden Ansatz zur numerischen Berechnung von Φ(�r), �r /∈ V :
Zunächst ist bekannt, daß sich auf einem Leiter sämtliche Ladungen an der
Oberfläche befinden, so daß man von dem Volumenintegral aus Gl.B.1 zu
einem Integral über die Leiteroberfläche S mit den infinitesimalen Flächensegmenten
ds übergehen kann, wenn man dabei die Volumendichte ρ in eine
entsprechende Flächenladungsdichte σ transformiert.
Φ(�r) = 1
4πɛ0
�
S
σ(�r ′ )
|�r − �r ′ | ds′
(B.2)
Unterteilt man daraufhin S in Unterflächen Sj, so ergibt sich Φ nun als
Superposition von n Einzelintegralen über die Sj.
Φ(�r) = 1
4πɛ0
n�
�
j
Sj
1
σ(�rj)
|�r − �rj| dsj, (B.3)
Läßt man die Flächenelemente Sj immer kleiner schrumpfen, so ist σ für nicht
allzu pathologische Konfigurationen über jeweils eine Teilfläche Sj nahezu
konstant und man kann es folglich aus dem Integral herausziehen. Hierdurch
geht Gl.B.2 in die lineare Gleichung
Ui = 1
4πɛ0
n�
�
1
σ(�rj) ·
Sj
j
|�ri − �rj| dsj
� �� �
MatrixAij
(B.4)