Fundamentos

Tema 1
Interacción de la radiación con la materia
1.2. Estructura atómica básica
Como es bien sabido, el mundo atómico y subatómico se rige por las leyes
de la mecánica cuántica. Consideremos una partícula no relativista de masa M
que se mueve en un potencial central V(r). La ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo,
pv
2
; + ,
M
V ^ r hE } ^rv
h = f } ^rv
h
(2)
2
permite que la función de onda de la partícula factorice en la forma
P^rh
} f , m
^v rh
= Y,
m
^rt
h ,
, ,
(3)
r
donde Y m
^rh son los armónicos esféricos. Las funciones radiales reducidas P(r)
poseen expresiones analíticas si el potencial es de Coulomb [5], pero en general
han de obtenerse resolviendo numéricamente la ecuación de Schrödinger
radial [5, 6]
, ,
t
2 2 2
' d ' , ^,
+ 1h
;- V r P r P r .
2
+
2 + ^ hE ^ h = f ^ h
(4)
2M d r 2M r
Si el potencial es atractivo esta ecuación admite soluciones con autovalores
ε nl
negativos discretos (n es el número cuántico principal), que representan estados
ligados. Las correspondientes funciones radiales reducidas P nl
(r) están
normalizadas a la unidad,
3
# Pn 2
, ^rh
d r = 1.
(5)
0
Por otra parte, la ecuación de Schrödinger radial también posee soluciones
con autovalores positivos, que describen partículas libres con energía cinética
no relativista ε = 21
Mv 2 (espectro continuo). La normalización de las funciones
del continuo P εl
(r) es arbitraria. Además las P εl
(r) presentan un comportamiento
asintótico de tipo
r
P ^rh + sin^kr - , - h ln^2krh + d ^fhh cuando r → ∞, (6)
f, 2
,
donde k = 2 Mf ' es el número de ondas y d l
el desfasaje. h ≡ Z ∞
e 2 /' v es el
parámetro de Sommerfeld, siendo V(r) → −Z ∞
e 2 /r el comportamiento asintótico
del potencial (Z ∞
= 0 para potenciales de corto alcance, Z ∞
≠ 0 para iones).
Cuando V(r) = 0, además de h = 0 es d l
= 0 ∀l y entonces las funciones de onda
del continuo se reducen a las ondas planas
3 2
} ^rv
h
-
= ^2rh exp^i
kv $ rv
h .
(7)
[ 23 ]