Fundamentos

Fundamentos de Física Médica
Volumen 1. Medida de la radiación
A menudo es más conveniente expresar la sección eficaz de Klein–Nishina
en términos de x, la fracción de energía del fotón secundario,
d v
d X
2
d 2 d cos
2
v r ^ ih
rr
1 2 2
2
= =
l l
2 1 .
3 c 2
+ l l x
d X d x
- l x x
- + ^ + h + m (56)
KN KN e
La correspondiente sección eficaz total (por electrón) de Klein–Nishina es
v
KN
x d KN
d r
4 2 2
2 1
e 2 2
max v
x r
l l
l
= = ln 1 2
.
2
+ l
3
2
min d x
- - ^ + h
# = ^ + h + G (57)
x
l l
^1 + 2lh
2.3.2. La aproximación de Waller–Hartree
En la aproximación de Waller–Hartree se incluyen los efectos de ligadura
de los electrones atómicos. En este formalismo, la sección eficaz Compton (por
átomo) se obtiene a partir de
d v
d x
d vKN
= S^q, Zh ,
d x
(58)
donde S(q,Z) es la función de dispersión incoherente del átomo blanco [15] y
q 2 = (E 2 + E′ 2 − 2EE′ cos θ)/c2 = (m e
c) 2 l [2 + l − 2τ (1 + l)+ τ 2 l] (59)
es el cuadrado del módulo de la transferencia de momento al electrón.
La función de dispersión incoherente se calcula a partir de la función de
onda atómica del estado fundamental W 0
mediante
Z Z
2
S^q, Zh = W0
/ / exp^i
qv $ ^rv i - rv
jh ' h W0
- 6 F^q, Zh@
. (60)
i = 1 j = 1
De aquí se sigue que S(q,Z) es una función monótona creciente de q que toma
valores desde S(0,Z) = 0 hasta S(∞,Z) = Z. Vemos entonces que la función de
dispersión incoherente inhibe las colisiones “blandas”, i.e. aquellas en las que la
transferencia de momento q es pequeña, reduciendo la sección eficaz diferencial;
de hecho dv/dx se anula para x = 1, pues q 2 (x = 1) = 0.
En el caso del átomo de hidrógeno, la función de dispersión incoherente
admite una expresión analítica ya que, como i = j = 1,
S H
(q,Z) = 1 − [F H
(q,Z)] 2 . (61)
[ 38 ]