Fundamentos

Fundamentos de Física Médica
Volumen 1. Medida de la radiación
1.2.1. Interacción entre un átomo y la radiación incidente
Cuando un átomo se ve sometido a la influencia de la radiación incidente
deben incluirse en H términos adicionales con las energías de interacción
entre el proyectil y los electrones atómicos. La correspondiente ecuación de
Schrödinger (o Dirac) es difícil o imposible de resolver exactamente, por lo que
hemos de recurrir a métodos aproximados. Con el fin de emplear teoría de perturbaciones,
descomponemos el hamiltoniano en dos sumandos, H = H 0
+ H′,
siendo la ecuación de Schrödinger con H 0
resoluble y H′ la “perturbación” 1
H 0
= H A
+ H F
, (14)
donde el hamiltoniano del átomo, H A
, está dado por las ecuaciones (11) o (12), y
H F
@
= /'~
m bmbm
(15)
m
es el hamiltoniano del campo de fotones libres. Cada modo m corresponde a un
vector de ondas kv m y un vector (unitario) de polarización rt m . Los operadores b m
@
y b m actúan sobre los estados |..., n m
,...〉 que describen el campo electromagnético
libre en la representación de números de ocupación (espacio de Fock); se
denominan operadores de creación y aniquilación, respectivamente, puesto que
@
b ; ..., n ,... = n + 1 ; ..., n + 1,... ,
m m m m (16)
b ; ..., n ,... = n ; ..., n - 1,... .
m m m m (17)
El efecto de H′ es inducir transiciones entre estados propios del hamiltoniano
H 0
. En el caso de fotones incidentes, el potencial vector asociado es
Av r A b A * @
^vh
\ / ^ v
m m + v
mbmh,
Av
ikv
$ rv
m
m \ rt
m e .
m
Efectuando el acoplamiento mínimo 2 en la ecuación (11) podemos escribir
(18)
N
N 2
e
e 2
H lph
= / Av ^rv jh
$ pv j + / A rj
/ H ph, H ph,
.
2
^v
h l 1 + l 2
mec
(19)
2m c
j = 1
j = 1
En el caso relativista hemos de realizar el acoplamiento mínimo en la ecuación
(12) y entonces
e
N
l = / e av $ Av ^rv
h.
(20)
H ph j j
j = 1
1
Frecuentemente se incluyen en H 0
aquellos términos que no dependen del proyectil mientras que H′ contiene las
energías de interacción entre el proyectil y los electrones atómicos, pero existen otras maneras de descomponer H.
2
Que consiste en reemplazar pv por pv -
q
c Av y H A
por H A
− qφ (en nuestro caso q = −e y φ = 0) [5, 7].
[ 26 ]