Fundamentos

Fundamentos de Física Médica
Volumen 1. Medida de la radiación
En mecánica cuántica relativista, la ecuación de Schrödinger debe sustituirse
por la ecuación de Klein–Gordon si la partícula tiene espín 0 o la ecuación
de Dirac si su espín es 1/2. La ecuación de Dirac independiente del tiempo es
2
6 ca v $ pv + ^b - 1hMc + V^rh@ } ^rv h = f } ^rv
h,
(8)
donde av y β son las matrices de Dirac [5, 7]. Los autovalores y funciones de
onda radiales reducidas se “etiquetan” con el número cuántico de momento
angular relativista l = (l − j)(2j + 1), con j = l ± 21
. En la referencia [8] se describe
el aspecto que tienen las funciones de onda radiales reducidas, tanto ligadas
como libres, que satisfacen la ecuación de Dirac radial (que reemplaza a
la ecuación (4)).
Consideremos ahora el conjunto de los N electrones (masa m e
, carga −e) de
un átomo de número atómico Z 2
. La función de onda atómica es W(q 1
,...,q N
),
donde la notación q j
indica las variables de posición rv j
y el espín m s,j
de cada
electrón. La función de onda satisface la ecuación de ondas independiente del
tiempo
H A N N N
^q 1 ,..., q h W^q 1 ,..., q h = E W^q 1 ,..., q h ,
(9)
donde el hamiltoniano atómico H A
contiene, además de las energías cinéticas
(no relativistas) de los electrones, las energías potenciales electrostáticas atractivas
electrón-núcleo y repulsivas electrón-electrón, es decir,
H A
N
pv
2 N
j Z2 e
2
2
= / + / c- m + /
e
.
(10)
2m
r r
j = 1 e j = 1
La ecuación (9) con el hamiltoniano (10) no tiene solución exacta, y es necesario
recurrir a aproximaciones que permitan simplificarla. Así, en el modelo de
electrones independientes en un campo central se supone que todos los electrones
se mueven en un potencial atómico promedio V(r), elegido de modo
que sea una buena aproximación a los potenciales electrostáticos de la ecuación
(10), y entonces
H
A
j
i 1 j
N
pv
2
j
= / ; + V^rjhE
(11)
2m
j = 1
o bien, si partimos de una formulación relativista,
H A
e
N
2
= / 6 cav j $ pv j + ^b
j - 1hm e c + V^r
j h@
.
(12)
j = 1
En este contexto, los potenciales autoconsistentes de tipo Hartree–Fock–Slater
[5] o Dirac–Hartree–Fock–Slater constituyen un punto de partida razonable. Al
ij
[ 24 ]