Fundamentos

Fundamentos de Física Médica
Volumen 1. Medida de la radiación
2.1.1. La aproximación de Born (no relativista)
La aproximación de Born (no relativista) considera la perturbación H' ph,1
,
ecuación (19), a primer orden, con la simplificación adicional de reemplazar la
función de onda del fotoelectrón por una onda plana. Esta aproximación dará
secciones eficaces razonables sólo si ε e
& U i
de modo que se pueda despreciar
la interacción culombiana del fotoelectrón con el ión residual.
La sección eficaz diferencial de efecto fotoeléctrico del átomo de hidrógeno
(y de iones hidrogenoides) en la aproximación de Born puede ser evaluada
analíticamente. La expresión que se obtiene en el caso de fotones no polarizados
es (véase por ejemplo [5])
2
d v 3 2 8 2 5 7 2 sin ie
3 2 8 2 5 7 2 2
2 a a Z
2 a Z sin e,
d
0 l
. a
4
0 l i
X = - -
61
- ^v
chcos
i @
e e e
(32)
donde a ≡ e 2 /'c ≈ 1/137 es la constante de estructura fina de Sommerfeld. La
proporcionalidad con sin 2 θ e
indica que el fotoelectrón tiende a emitirse perpendicularmente
a la dirección del fotón incidente. La sección eficaz total se
obtiene integrando la sección eficaz diferencial (32) sobre todas las direcciones
de emisión,
9 2
E
d
2 d cos
2 8 2 5 7 2
v
v
-
^ h = # r ^ ieh
= a a Z .
d
3 0 l
X
(33)
-1
1
e
Esta fórmula resulta ser aplicable no sólo para fotoionización de átomos hidrogenoides,
sino que también describe de forma aproximada la ionización de la
capa K de átomos o iones por rayos x y γ. Obsérvese que la sección eficaz es
proporcional a Z 5 y a E −7/2 , creciendo rápidamente al aumentar el número atómico
y disminuir la energía.
Para átomos multielectrónicos, se puede generalizar el tratamiento anterior
sobre la base del modelo de electrones independientes en un campo central.
Sin embargo los cálculos han de realizarse numéricamente.
2.1.2. La aproximación dipolar eléctrica (no relativista)
En la aproximación dipolar eléctrica no relativista, el hamiltoniano de la
interacción entre el campo de radiación electromagnética y el átomo es H′ ph,1
,
ecuación (19), pero haciendo la exponencial igual a 1 en la expresión del potencial
vector, ecuación (18). Con estas simplificaciones, la relación de conmutación
de Heisenberg permite reemplazar los valores esperados de los operadores
pv j por los de rv j . Empleando teoría de perturbaciones a primer orden,
[ 30 ]