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( pues la matriz Cjj es simétrica). De inmediato surge la falsa solución
trivial de dejar todas las neuronas de un sólo lado de modo que L sea el
mínimo absoluto. Es necesario poner por lo tanto alguna restricción en L que
'castigue' o 'penalize' las soluciones que no tiendan a bipartir la red en dos
partes iguales. La forma de generar esto es agregar un término:
H =
N.CI - C Oij,Si.Sj
i>j
con: w ij Cij - 2.p
donde se llamará a u factor de penalización. Si la partición es en partes
iguales, el segundo término es mínimo. El factor de penalización dará la
debida importancia a la exactitud de la bipartición frente a la reducción de
la longitud de interconexión al mínimo. Hemos llegado a un modelo exactamente
igual a la función energía planteada por Hopfield y que la red intentará
minimizar, implicando A) reducir la longitud total estimada de interconexión
( TELL: Total Estimated Inteconnection Length, [4]) a través de la línea de
bipartición y B) bipartir el grupo de neuronas lo más parejamente posible.
Nótese que según la constante u, algunos valores de C-. 'generarán
valores negativos de wji los cuales forzarán a dejar en lados diferentes de
la bipartición a las normas Sj y S.. Esto se deduce fácilmente observando
la función energía e intentando minimizarla. La naturaleza totalmente dinámica
de la red puede resolver ( ser atraída por los atractores más potentes) hacia
las mejores soluciones de este tipo de problemas N-dimensionales que implican
ecuaciones no lineales y que numéricamente sería prácticamente imposible
resolver de otro modo.
TEMPERATURAS Y TRANSICIONES DE FASE
Sea un modelo a nivel atómico de un material magnético, donde cada átomo
constituye un dipolo magnético orientable al que se llama spin. En una estructura
atómica regular, por ejemplo un cristal, cada átomo tiene su spin orientado
según la dirección del campo magnético presente en esa posición. El campo
magnético está dado por la suma de todos los campos dipolares de los demás
átomos de la red y algún campo externo. La ecuación que caracteriza esto es:
donde:
La similitud con la red neurona1 es absoluta pues se trata de un gran
sistema dinámico de partículas elementales de características muy simples que
interaccionan entre sí. Este modelo magnético es conocido como Modelo de Ising
[l] en la mecánica estadística. Cada átomo orientará su spin acorde con esta
ecuación.
Como el material no tiene por que ser homogéneo, cada átomo
responderá en distinta manera a los campos dipolares de los demás átomos según
su posición relativa y detalles microscópicos de la red. Los factores wji que
gobiernan esto pueden ser positivos o negativos, pero necesariamente
simétricos. Así, un material homogéneo con todos los coeficientes iguales y
positivos no es más que un ferromagneto, cuyos spins se alinearán todos en un
sentido impulsados por un campo magnético inicial externamente aportado.
Coeficientes todos negativos indicanun comportamiento antiferromagnético. Los
materiales heterogéneos tendrán dinámicas similares a las de una red neuronal,
con evolución, soluciones estables y atractores.
Es conocido el efecto desordenante que tiene la temperatura sobre el
spin de las estructuras cristalinas. La energía térmica de cada átomo tiende
a invertir aleatoriamente los spins respecto de la posición indicada por el
campo, "generando el conocido efecto de ruido térmico. Para caracterizar esto,
el modelo de Ising introduce la temperatura T como parámetro según:
S i = 2 Prob (si=*l) -1 =
158
2
- 1 = tgh
1 + /T