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Un ciclo es un camino que comienza y termina en el mismo nodo. De Igual modo que los caminos, los ciclos pueden ser orientados o no. Un recorrido (tour) es un ciclo que incluye todos los vértices de un grafo. 3.2. Modelo propuesto. A los efectos de definir rigurosamente la ruta óptima entre dos puntos cualesquiera del mapa de la ciudad de Bahía Blanca se ha implementado un algoritmo típico para los casos donde el nodo origen y el destino son únicos y diferentes denominado algoritmo de Dijkstra dentro de un Sistema de Información Geográfica (SIG), quien es el encargado de suministrar al algoritmo la información necesaria para los cálculos. La implementación se realiza de manera tal que contempla las siguientes restricciones de tránsito: a) sentido de circulación real de las calles y avenidas. b) giros permitidos acorde con la semaforización de la ciudad. 3.2.1. El algoritmo de Dijkstra. Descripción Se considera en esta sección, una red orientada en la que cada arco tiene un peso no negativo (Wij) y donde un vértice se especifica como nodo origen, El peso asignado a cada arco puede ser un valor de distancia, tiempo de viaje, costo, consumo de combustible o cualquier otro atributo. El problema, consiste en encontrar el camino más corto del origen a cualquiera de los nodos de la red, donde la longitud del camino es la suma de los pesos de los arcos que integran ese camino. Este algoritmo, conocido también como algoritmo de /as etiquetas, permite encontrar el camino más corto entre un determinado nodo origen s y un nodo destino t o determinar el camino más corto entre el nodo origen y todos los restantes nodos de la red. Corresponde al tipo de algoritmos conocidos como ávidos (greedy), pues siempre escoge el Vértice más cercano al origen de entre aquellos cuyo camino más corto todavía se desconoce (teniendo Presente que se trabaja con pesos no negativos en los arcos). Se comienza asignando una etiqueta permanente 0 al nodo origen s (pues cero es la distancia de S a sí mismo). A todos Ios otros nodos se les asigna etiqueta temporaria (distancia infinita), pues aún no han sido alcanzados. Luego se etiqueta cada nodo v (sucesor inmediato) conectado directamente con el nodo origen s Con rótulos temporarios en los que se indica el peso del arco (s,v). De entre todos los sucesores inmediatos de S, el vértice con la etiqueta temporaria de menor valor (llámese x), es el nodo más cercano a s. como todos IOS arcos tienen pesos no negativos, no puede existir un camino más corto de s a x, entonces la etiqueta del Vértice x se convierte en permanente. A continuación se buscan los vértices conectados directamente al nodo x y se reducen los valores de sus etiquetas temporarias si el camino desde s a cualquiera de ellos es más corto pasando por x que sin pasar por x. Ahora, de todos esos nodos con etiqueta temporaria, se escoge aquél con menor valor de distancia (llámese y), y se convierte su etiqueta en permanente. Este nodo es el segundo nodo más próximo al nodo origen s. Así, en cada iteración, se reducen los valores de etiquetas temporarias cuando sea posible (seleccionando un camino más corto a través del nodo más recientemente etiquetado en forma permanente), Se Selecciona aquél nodo con etiqueta temporaria de menor valor y se le asigna etiqueta permanente: Se continúa de este modo hasta que el nodo destino t adquiere etiqueta permanente. A fin de distinguir los nodos etiquetados en forma permanente, de aquellos con etiqueta temporaria, se ‘utiliza un vector de Boole, S[v], de orden n. Cuando el i-ésimo nodo adquiere etiqueta permanente, el í-ésimo elemento de este vector cambia de falso a verdadero. Se utiliza un arreglo D[v] de Orden n para almacenar el valor de las etiquetas de los nodos. Se utiliza otro arreglo P[v] que almacena el 246 5
vértice inmediato anterior a v en el camino más corto desde s a t. Se usa una variable recent que guarda el último nodo etiquetado en forma permanente. Suponiendo que la red se da en la forma de una matriz de peso W=[Wi] con pesos para arcos inexistentes, especificados un nodo origen s y un nodo destino t, el algoritmo de Dijkstra se resume a continuación: Finalizada la ejecución del algoritmo, la longitud del camino más corto estará dada por el valor D[f] Para reconstruir el camino más corto de s a t , se regresa por los vértices predecesores del arreglo P. algoritmo: Se presenta a continuación una red de pocos nodos a fin de visualizar cómo trabaja este 247
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