Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

4.5.
L’OPÉRATEUR “CONSTRAIN” 97
Ind(⃗x n+1 ) ≥ Ind(⃗x n )+1. Comme Ind(⃗x 0 ) > 0, on obtient Ind(⃗x n ) > n. Il est évident que
si Ind(⃗x n ) = m, alors ⃗x n+1 satisfait χ. Comme on a Ind(⃗x m−1 ) ≥ m, ⃗x m doit satisfaire χ,
et donc la séquence de points (⃗x n ) n≥m devient constante.
✷
Le théorème précédent nous permet de définir la fonction PPI de façon opérationelle.
Définition 4.2 Soit χ une fonction non nulle de {0,1} m dans {0,1}. Soit ⃗x un point de
{0,1} m , et soit (⃗x n ) n≥0 la séquence associée à ⃗x et χ. On pose :
PPI(χ,⃗x) = ⃗x m . (4.9)
4.5.2 Définition topologique de la Plus Proche Interpretation
La définition de la série d’interprétations (⃗x n ) 0≤n≤m et la preuve du Lemme 4.1 suggèrent
une autre présentation de la Plus Proche Interpretation, sans doute plus intuitive, car
utilisant la topologie de l’espace des interprétations. Nous définissons la fonction d sur
{0,1} ℵ ×{0,1} ℵ par :
d(⃗x,⃗y) =
∞∑
k=1
|x k −y k |
k2 k .
Lemme 4.2 La fonction d est une hyper-distance 3 , c’est à dire une distance telle que pour
toutes interprétations ⃗x,⃗y et ⃗z,d(⃗x,⃗z) = d(⃗y,⃗z) si et seulement si ⃗x = ⃗y.
Preuve. d est une distance : la fonction d est positive et symétrique ; d(⃗x,⃗y) est nul si et
seulement si x k = y k pour tout k, c’est à dire si et seulement si ⃗x = ⃗y ; comme on a :
|x k −y k | = |(x k −z k )−(y k −z k )|
≤ |x k −z k |+|y k −z k |,
on obtient d(⃗x,⃗y) ≤ d(⃗x,⃗z)+d(⃗z,⃗y). Montrons maintenant que d est une hyper-distance.
Supposons que ⃗x ≠ ⃗y. Soit donc n l’indice minimal k tel que x k ≠ y k . On obtient les
minorations suivantes :
∣ ∞∑ (|x k −z k |−|y k −z k |) ∣∣∣∣
|d(⃗x,⃗z)−d(⃗y,⃗z)| =
∣ k2 k
k=1
≥ 1
n2 n − ∣ ∣∣∣∣∣ ∞ ∑
k=n+1
≥ 1
n2 n − ∞ ∑
k=n+1
(|x k −z k |−|y k −z k |)
k2 k
||x k −z k |−|y k −z k ||
k2 k
3 La propriété d’hyper-distance est perdue si le facteur 1/k est ôté dans la définition de d. Ainsi, la
fonction d ′ (⃗x,⃗y) = ∑ ∞
k=1 |x k −y k |/2 k est une distance, mais pas une hyper-distance. Par exemple, pour
⃗x = (111...), ⃗y = (000...) et ⃗z = (011...), on a ⃗x ≠ ⃗y, mais d ′ (⃗x,⃗z) = d ′ (⃗y,⃗z) = 1/2. L’affectation d’un
poids 1/k2 k à la k–ième composante de l’interprétation nous assure que “l’importance” des composantes
d’indice supérieur ou égal à k +1 est strictement inférieure à “l’importance” de la k–ième composante.
∣ ∣∣∣∣∣