Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Annexe A
Terme, réécriture, forme normale et
canonique
Terme
Considérons un ensemble dénombrable V, appelé ensemble des symboles de variable, et
les ensembles dénombrables F k pour k ≥ 0, où l’ensemble F k est appelé ensemble des
symboles de fonction d’arité k. Nous appelerons aussi F 0 l’ensemble des constantes. A
partir de ces ensembles, on définit inductivement l’ensemble des termes T : toute variable
est un terme ; soit t 1 ,...,t n des termes et f un symbole de F n , alors f(t 1 ,...,t n ) est un
terme.
Substitution
On appelle substitution une fonction de V dans T presque partout égale à l’identité.
On représente une substitution en énumérant tous les cas où elle diffère de l’identité. Par
définition, [x 1 ← t 1 ,...,x n ← t n ] est la substitution σ telle que σ(x k ) = t k pour 1 ≤ k ≤ n,
et σ(x) = x pour x ∉ {x 1 ,...,x n }. Les substitutions seront postfixées sur leur argument.
On appelle substitution élémentaire (ou remplacement) une substitution égale à
l’identité sauf pour un seul élément de V. Toute substitution peut s’écrire comme la
composition de substitutions élémentaires. Plus précisément, il faut disposer d’un ensemble
dénombrable de nouveaux symboles W disjoint de V, ce qui permet de décomposer
toute substitution de (V → T ) en une composition de substitutions élémentaires prises
dans ((V ∪ W) → T ). On évite ainsi les “effets de bord”. Par exemple, la substitution
[x ← y,y ← x] qui échange parallèlement les variables x et y se décompose
sous la forme [x ← U][y ← x][U ← y] avec U ∈ W. Celle-ci ne peut pas s’écrire
[x ← z][y ← x][z ← y] avec z ∈ V, car f(x,y,z) est un terme appartenant au langage,
et f(x,y,z)[x ← z][y ← x][z ← y] est égal à f(y,x,y), au lieu du terme f(y,x,z)
escompté.
Toute substitution σ s’étend en une fonction σ ∗ de T dans T : pour toute variable x,
σ ∗ (x) = σ(x) ; pour un terme f(t 1 ,...,t n ), σ ∗ (f(t 1 ,...,t n )) = f(σ ∗ (t 1 ),...,σ ∗ (t n )). Dans
la suite, on ne distinguera plus σ et σ ∗ . On dira que les substitutions bijectives sont des
renommages de variables.
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