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Chapitre 4 Calcul de l’image d’une fonction Nous présentons ici des algorithmes de calcul de l’image d’une fonction vectorielle booléenne. EtantdonnélesDAGsd’unefonctionvectorielle ⃗ f de{0,1} m dans{0,1} n , etle DAG d’une fonction χ de {0,1} m dans {0,1}, nous établissons tout d’abord la complexité d’évaluation de la fonction Img( ⃗ f,χ), définie de {0,1} n dans {0,1}. Puis nous introduisons la notion de restricteur d’image, qui permet de décomposer le calcul de l’image. Enfin nous donnons le schéma d’un algorithme permettant de calculer Img, et nous proposons deux instances de ce schéma. Les résultats présentés seront valables pour les deux représentations graphiques BDD et TDG, sauf lorsque cela sera explicitement spécifié. Nous adoptons les notations suivantes. La fonction booléenne ε est l’identité ou la négation. Une variable du domaine {0,1} m (respectivement du codomaine {0,1} n ) est notée ⃗x (respectivement ⃗y). Une fonction booléenne est confondue avec son DAG. Les vecteurs de fonctions booléennes sont notés ⃗ f ou [f 1 ...f n ]. Nous étendons les opérateurs booléens aux vecteurs, de façon à obtenir une structure d’espace vectoriel. Par exemple, [f 1 ...f n ] ∨ [f ′ 1...f ′ n] = [(f 1 ∨ f ′ 1)...(f n ∨ f ′ n)], et le vecteur χ ∧ [f 1 ...f n ] est égal à [(χ∧f 1 )...(χ∧f n )]. 4.1 Difficulté du calcul de Img( ⃗ f,χ) La difficulté intrinsèque du problème est indiquée par le théorème suivant. Calculer Img( ⃗ f,1) est NP–difficile 1 . Il est même certain que le calcul de Img( ⃗ f,1) n’appartient pas à NP. En utilisant l’hypothèse que l’ordre des variables est fixé, on obtient le théorème 4.2 qui précise la complexité du problème. Théorème 4.1 Etant donné la forme canonique d’une fonction vectorielle ⃗ f, la canonisation de Img( ⃗ f,1) est NP–difficile. Preuve. Nous ne donnons que la preuve sur les DAGs. Soit C = ( ∧ n k=1 c k ) une 3–forme normale conjonctive composée de n clauses c k . Chaque clause c k est une disjonction de trois littéraux, donc le calcul des DAGs de toutes les clauses se fait en O(n). 1 On a Img( ⃗ f,χ) = λ⃗y.Img( ⃗ f@[χ],1)(y 1 ,...,y n ,1). Donc Img( ⃗ f,χ) = Img( ⃗ f@[χ],1)[y n+1 ← 1], le terme de droite étant calculé en O(|Img( ⃗ f@[χ],1)|). Le calcul de Img( ⃗ f,1) est donc aussi difficile que celui de Img( ⃗ f,χ). 85
86 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION Soit χ = Img( f,1). ⃗ Evaluer le terme χ(1,...,1) se fait en O(n). Or C est satisfiable si et seulement si χ(1,...,1) = 1, donc calculer χ est NP–difficile. ✷ Théorème 4.2 Le problème de la composition se réduit à celui du calcul de l’image. Preuve. Rappelons que ⃗x = [x 1 ...x m ], et ⃗y = [y 1 ...y n ]. Soient les DAGs des fonctions λ⃗x.f 1 (⃗x), ..., λ⃗x.f n (⃗x), et λ⃗y.g(⃗y). Le problème de la composition consiste à calculer le DAG de la fonction λ⃗x.(g(f 1 (⃗x),...,f n (⃗x)). Soit la fonction vectorielle ⃗ F définie par : ⃗F = λ(⃗x@⃗y).[x 1 ... x m (y 1 ⇔ f 1 (⃗x)) ... (y n ⇔ f n (⃗x)) g(⃗y)]. Les DAGs de F ⃗ se construisent en O(m+|g|+ ∑ n k=1 |f k |). On a : ( Img( F,1) ⃗ m ) ∧ = λ[z 1 ...z m+n+1 ].(∃⃗x ∃⃗y (z k ⇔ x k ) ∧ k=1 ( ∧ n ) (z m+k ⇔ (y k ⇔ f k (⃗x))) ∧ k=1 (z m+n+1 ⇔ g(⃗y))) On a donc : ( Img( F,1)(z ⃗ m ( ∧ n ) ∧ 1 ,...,z m ,1,...,1) = ∃⃗x ∃⃗y z k ⇔ x k )∧ y k ⇔ f k (⃗x) ∧g(⃗y) k=1 k=1 ( n ) ∧ = ∃⃗y (y k ⇔ f k (z 1 ,...,z m )) ∧g(⃗y) k=1 = g(f 1 (z 1 ,...,z m ),...,f n (z 1 ,...,z m )) La composition g(f 1 ,...,f n ) est égale à λ[x 1 ...x m ].Img( ⃗ F,1)(x 1 ,...,x m ,1,...,1). Ce dernier DAG se calcule en O(|Img( ⃗ F,1)|), ou même en O(n) si le DAG de Img( ⃗ F,1) sur le système {z 1 ,...,z m ,z m+1 ,...,z m+n ,z m+n+1 } est ordonné de telle façon que {z m+1 ,...,z m+n ,z m+n+1 } < {z 1 ,...,z m }. ✷ Le Théorème 4.2 montre que la composition se réduit polynomialement au calcul de l’image. Les remarques faites Section 2.4.3 sur la complexité de la composition sont donc applicables. Le calcul de l’image est au moins exponentiel en mémoire dans le pire des cas pour un ordre fixé. Même si un oracle donnait dynamiquement un bon ordre des variables minimisant les DAGs des fonctions manipulées, le calcul de l’image reste au moins exponentiel en mémoire dans le pire des cas. Ces résultats de complexité exponentielle sont obtenus vis-à-vis de la mémoire nécessaire pour construire le DAG de Img( ⃗ f,χ). On peut s’interroger sur la complexité de problèmes faisant intervenir le calcul de l’image avec une sortie bornée (par exemple un problème dont la réponse est “vrai” ou “faux”). Déterminer si Img( ⃗ f,1) = 1 pour une fonction vectorielle ⃗ f donnée est un de ces problèmes, et un des plus intéressants, car il permettrait d’accélérer considérablement le calcul de l’image (voir Section 4.3 sur l’utilisation du cache). Cependant, les théorèmes suivants affirment la non polynomialité de ce test.
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2 2.4.4 Forme sans quantificateur d
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136 ANNEXE D. ENSEMBLE DE FONCTIONS
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138 ANNEXE E. RÉDUCTION ET MINIMIS
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144 BIBLIOGRAPHIE [14] G. Berry,
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