Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

58 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Pour une équation quelconque, la résolution est évidemment non polynomiale en général,
puisque le calcul d’une forme sans quantificateur d’un graphe est lui-même un problème
non polynomial. Dans le cas particulier d’une équation du type (∀y 1 ...∀y n ∃x 1 ...∃x m f)
où f est un graphe, ce qui correspond au cas de l’unification booléenne [119, 24], avec
{y 1 ,...,y n } < {x 1 ,...,x m }, les m fonctions de Skolem sont calculées en O(m × |f|), et
chacune d’entre elles a une taille en O(|f|).
2.5 Le problème de l’ordre
Un ordre fixé des variables assure la canonicité des BDDs et TDGs. Mais la taille du
graphe d’une formule dépend de cet ordre. Nous étudions ici l’influence de l’ordre des
variables sur la taille des graphes.
Considérons une permutation π des n premiers entiers. Pour toute formule f, on note
f π la formule obtenue à partir de f par renommage des variables x k en x π(k) . Soit V π la
fonction λ[x 1 ...x n ].[x π(1) ...x π(1) ]. A une fonction λ⃗x.f de n variables, on peut associer n!
réécritures de la forme (λ⃗x.f π )◦V π −1. On peut représenter f par le graphe de f π modulo
la permutation π, c’est à dire modulo l’ordre sur les variables. Les graphes des n! formules
f π possibles n’ont évidemment pas tous la même taille, et on a vu qu’en choisissant un
mauvais ordre sur les variables, on peut faire croître dramatiquement la taille du graphe
d’une fonction. Il importe donc de bien choisir l’ordre d’expansion des variables. Il existe
des classes de fonctions insensibles à l’ordre, comme les fonctions symétriques :
Théorème 2.18 Le graphe d’une fonction symétrique de n variables est de taille majorée
par n 2 /2, quel que soit l’ordre des variables.
Preuve. Soit f une fonction symétrique de n variables. Comme f est symétrique, pour
toute permutation π des n premiers entiers, on a f(x 1 ,...,x n ) = f(x π(1) ,...,x π(n) ). Ceci
garantit que la taille du graphe de f est insensible à l’ordre. Montrons maintenant qu’il
est de taille bornée par n 2 /2.
Comme f est symétrique, la valeur de f(x 1 ,...,x n ) ne dépend que du nombre de
valeurs 1 prises par les variables x 1 ,...,x n . Ainsi une fonction symétrique de n variables
est entièrement décrite en donnant sa valeur v k lorsque exactement k de ses variables
prennent la valeur 1, ceci pour 0 ≤ k ≤ n :
f(1,...,1,0,...,0) = v
} {{ } } {{ } k
k n−k
Le graphe non complètement réduit de cette fonction est la structure G 1 1, où
G k j = △(x k ,G k+1
j ,G k+1
j+1) pour 1 ≤ j ≤ k ≤ n, et G n+1
j = v j−1 pour 1 ≤ j ≤ n + 1.
Ce graphe est donné Figure 15. La taille du graphe réduit correspondant, obtenu en
remplaçant les feuilles v k par les constantes 0 ou 1, est évidemment bornée par n(n−1) . ✷
2
D’un autre coté, la croissance des graphes décrivant les sorties de l’additionneur n–bits
est linéaire en fonction de n dans le meilleur des cas, mais elle est exponentielle dans le pire
des cas [27]. Plus directement, ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧...∧(y n ⇔ y n+1 )) a un graphe
en O(n) pour l’ordre y 1 < y 2n < y 2 < y 2n−1 < ... < y n−1 < y n , mais le Lemme 2.1