Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

98 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
≥ 1
n2 n − ∞ ∑
k=n+1
⎛
> 1
n2 n − 1
n+1
= 1 2 n(1 n − 1
n+1 )
> 0
1
k2 k, car ||v k −u k |−|w k −u k || ≤ 1
⎞
∞∑ 1
⎝ ⎠
2 k
k=n+1
d’où d(⃗x,⃗z) ≠ d(⃗y,⃗z). Comme d est une distance, la réciproque est immédiate.
Lemme 4.3 Soit ⃗x un point de {0,1} ℵ . La relation notée ≤ ⃗x , et définie pour tous points
⃗y et ⃗z par ⃗y ≤ ⃗x ⃗z si et seulement si d(⃗x,⃗y) ≤ d(⃗x,⃗z), est un ordre total sur {0,1} ℵ .
Preuve. Comme d est une distance bornée, on a d(⃗x,⃗y) et d(⃗x,⃗z) finis pour tous points ⃗y
et ⃗z, donc on a ⃗y ≤ ⃗x ⃗z ou ⃗z ≤ ⃗x ⃗y. La relation < ⃗x est transitive puisque d est une distance.
Si ⃗y ≤ ⃗x ⃗z et⃗z ≤ ⃗x ⃗y, alors ceci implique par définition que d(⃗x,⃗y) = d(⃗x,⃗z), ce qui implique
que ⃗y = ⃗z puisque d est une hyper-distance.
✷
Lemme 4.4 Les formules propositionnelles finies sont continues 4 vis-à-vis de l’hyperdistance
d, c’est à dire que si une suite de points (⃗x n ) n>0 converge au sens de d, alors
pour toute formule f de taille finie, lim n→∞ f(⃗x n ) = f(lim n→∞ ⃗x n ).
Preuve. Soit ⃗ l = lim n→∞ ⃗x n . Montrons que la suite (f(⃗x n )) n>0 converge pour d, et que
sa limite est f( ⃗ l). La formule f est de longueur finie, donc de support fini, et il existe
m tel que ce support est inclus dans {x 1 ,...,x m }. Comme (⃗x n ) n>0 converge vers ⃗ l et
que d(⃗x n ,⃗x n+1 ) ≤ d(⃗x n , ⃗ l) + d( ⃗ l,⃗x n+1 ), il existe un entier k tel que pour n > k, on ait
d(⃗x n ,⃗x n+1 ) < 1/m2 m . Ceci signifie que pour n > k, les m premières composantes de ⃗x n
restent constantes, et que ces m premières composantes seront aussi celles de ⃗ l. Comme
le support de f est inclus dans {x 1 ,...,x m }, cela veut dire aussi que la suite (f(⃗x n )) n>k
est constante, et égale à f( ⃗ l).
✷
Théorème 4.13 Soit ⃗x un point de {0,1} ℵ et une formule χ ≠ 0. Il existe un unique
point de {0,1} ℵ qui satisfait χ et qui minimise la distance d avec ⃗x.
Preuve. Soit S = {⃗y / χ(⃗y) = 1}. L’ensemble S réunit les interprétations satisfaisant χ.
Cet ensemble est non vide puisque χ ≠ 0. Vu le Lemme 4.3, la relation ≤ ⃗x est un ordre
total sur S, et comme la distance d est finie, S possède une borne inférieure ⃗x min vis-à-vis
de ≤ ⃗x . Par définition de la borne inférieure, il existe une suite d’interprétation (⃗x n ) n>0 de
S qui converge vers ⃗x min au sens de d. D’après le Lemme 4.4, on a les égalités :
χ(⃗x min ) = χ(lim n→∞
⃗x n )
= n→∞
lim χ(⃗x n ).
4 Cette continuité est perdue sur les formules de taille infinie. Par exemple, avec la formule infinie
f = ( ∨ ∞
k=1 x k) et la suite d’interprétations (⃗x n ) n>0 définie par x n n = 1 et x n k
= 0 si k ≠ n, on a
lim n→∞ ⃗x n = (00...) au sens de d, et donc f(lim n→∞ ⃗x n ) = 0, alors que f(⃗x n ) est constante et égale à 1.
Ceci n’est pas étonnant, puisque l’ensemble (ℵ → {0,1}) a la puissance du continu, et donc que l’ensemble
des fonctions caractéristiques de ℵ qui sont récursives est de mesure nulle sur (ℵ → {0,1}). Ceci revient
aussi à dire que dans l’espace des formules infinies, l’ensemble des formules calculables (c’est à dire de
sémantique évaluable) est aussi de mesure nulle.
✷