Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

78 CHAPITRE 3.
PROBLÈMES SUR LES MACHINES SÉQUENTIELLES
De la même façon, l’ensemble AU des états de la machine M qui satisfont la formule
A[fUg] est défini comme la limite de la suite d’ensembles (A k ) suivante :
A 0 = G,
et
A k+1 = A k ∪{⃗y / (⃗y ∈ F)∧(∀⃗x δ(⃗y,⃗x) ∈ A k )}.
Les fonctions caractéristiques de ces ensembles s’écrivent :
A 0 = G, et (3.10)
(
A k+1 = λ⃗y. A k (⃗y)∨ ( F(⃗y)∧(∀⃗x Cns(⃗y,⃗x) ⇒ A k ( f(⃗y,⃗x))) ⃗ )) . (3.11)
Ces équations de points fixes correspondent à un parcours virtuel en arrière et en largeur
d’abord du graphe d’état de la machine, c’est à dire que la relation d’accéssibilité utilisée
pendant le parcours est “être antécédant de”. La Figure 21 montre le calcul de l’ensemble
des états satisfaisant A[fUg]. Dans cette exemple, l’ensemble des états satisfaisant f
(respectivement g) est donné en pointillé et étiqueté F (respectivement G). Les flèches
sont les transitions d’état à état. En gris sont représentées les quatres parties constituant
l’ensemble des états satisfaisant A[fUg], trouvés en quatre étapes à partir des équations
de point fixe 3.10 et 3.11.
Figure 21. Calcul des états satisfaisant A[fUG].
3.3.3 Le terme critique : l’image réciproque
Les équations 3.6 à 3.11 peuvent se réécrire à partir d’une fonction “Pre”, telle que
Pre( ⃗ f,Cns,χ) est la fonction caractéristique des états qui possèdent au moins un successeur
appartenant à l’ensemble χ. Pre est définie par :
Pre( ⃗ f,Cns,χ) = λ⃗y.(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧χ( ⃗ f(⃗y,⃗x))).