Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

26 CHAPITRE 1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE QUANTIFIÉE
Théorème 1.5 Les fonctions de Skolem s j de l’équation à plusieurs inconnues
(Q 1 x 1 ...Q n x n f) sont définies à partir des formes sans quantificateurs f k , L k , H k , L ′ k,
H ′ k, pour 0 ≤ k ≤ n :
f n = f
L n = ⊥
H n = ⊥
L ′ 0 = L 0
H ′ 0 = H 0
Si il existe k tel que f k = 0, alors l’équation n’a pas de solution
Si Q k = ∀, alors :
f k−1 = f k [x k ← 0]∧f k [x k ← 1]
L k−1 = L k
H k−1 = H k
L ′ k = L ′ k−1
H k ′ = H k−1
′
1.5 Conclusion
Si Q k = ∃, alors :
f k−1 = f k [x k ← 0]∨f k [x k ← 1]
L k−1 = f k [x k ← 0]
H k−1 = f k [x k ← 1]
s k = (¬L ′ k−1 ∨(x k ∧H ′ k−1))
L ′ k = L k [x k ← s k ]
H ′ k = H k [x k ← s k ]
Nous avons présenté la logique propositionnelle quantifiée. Les quantificateurs permettent
d’une part, de décrire de façon compacte des expressions dont la forme sans quantificateur
est de taille exponentielle ; d’autre part, de définir implicitement des ensembles de
fonctions comme étant des instances des fonctions de Skolem d’une équation. Sur ce formalisme,
nous avons décrit le processus d’élimination des quantificateurs et la résolution
complète des équations booléennes. Cette présentation ne suppose aucune représentation
particulière des formules propositionnelles, aussi ces résultats pourront être directement
appliqués aux représentations proposées dans le Chapitre 2.
Ce système permet de dénoter et de manipuler des objets de tout système dont le
domaine d’interprétation est fini. Il sera utilisé dans toute la suite pour formaliser les
problèmes et décrire leurs solutions.