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Chapitre 3 Problèmes sur les machines séquentielles Nous nous intéressons ici aux manipulations formelles susceptibles de résoudre efficacement une large classe de problèmes portant sur les machines à états finis. Nous donnons d’abord le modèle de machine séquentielle sur lequel porteront ces manipulations, puis nous donnons trois grands aspects des problèmes posés sur les machines séquentielles. Nous réduirons alors ces trois problèmes à l’étude de quelques primitives de manipulation formelle, à savoir le calcul de l’image d’une fonction, le calcul de l’image réciproque d’une fonction, la minimisation combinatoire, l’élimination des variables d’états redondantes, et le réencodage. 3.1 Modèle d’une machine séquentielle Figure 16. Modèle d’une machine séquentielle. 69
70 CHAPITRE 3. PROBLÈMES SUR LES MACHINES SÉQUENTIELLES Nous considérons ici que la machine séquentielle qui est traitée est une machine incomplètement spécifiée [75, 83]. Cette machine M est définie par un 6–uplet (n,m,r,ω,δ,Init), où : • n est le nombre de variables d’état de M. Son espace d’états est donc {0,1} n . • m est le nombre d’entrées de la machine, donc l’ensemble des entrées qui peuvent être utilisées pour calculer les sorties et l’état successeur est {0,1} m . • ω est le vecteur des r fonctions de sortie partiellement définies de la machine. Chacune des fonctions du vecteur ω est une fonction de {0,1} n ×{0,1} m dans {0,1} r ⊥. • δ est la fonction de transition partiellement définie de la machine. δ est une fonction de {0,1} n ×{0,1} m dans {0,1} n ⊥, et est dénotée par un couple (Cns, ⃗ f) tel que : δ = λ⃗y.λ⃗x.(if Cns(⃗y,⃗x) = 1 then ⃗ f(⃗y,⃗x) else ⊥) Cns dénote le domaine où la fonction de transition est définie, et ⃗ f définit sur le domaine Cns la valeur de l’état successeur. Cns est une fonction booléenne de {0,1} n ×{0,1} m dans {0,1} ; ⃗ f est une fonction vectorielle [f 1 ...f n ], où chaque f k est une fonction de {0,1} n ×{0,1} m vers {0,1}. • Init est l’ensemble des états initiaux de la machine. Si ω ne dépend que des variables d’état de la machine, on dira que M est une machine de Moore. Sinon, on dira que M est une machine de Mealy. Une machine de Moore a un pouvoir de dénotation équivalent à celui d’une machine de Mealy, car toute machine de Mealy peut se transformer en une machine de Moore équivalente [74, 83]. La figure 17 illustre le processus d’obtention du 6–uplet qui décrit une machine séquentielle, tel qu’il est par exemple mis en oeuvre dans PÂRIS [53]. PÂRIS prend en entrée la description d’un réseau de machines communicantes, écrite dans le langage VHDL [7, 87, 41]. Un processus d’exécution symbolique, tel que celui décrit dans [19, 89, 94], permet de calculer les fonctions booléennes décrivant le comportement de chaque machine. Puis un processus de composition symbolique de machines [53] permet d’obtenir le comportement global du réseau de machines, sous la forme d’une machine de Mealy décrite par un 6–uplet (n,m,r,ω,δ,Init). Durant cette compilation, des vérifications statiques sont faites pour s’assurer que le réseau de machines respecte un certain nombre de règles. Ainsi, il faut s’assurer qu’il n’y a pas de boucle fonctionnelle, sous peine d’avoir un système asynchrone. On vérifie aussi que la sémantique de VHDL n’est pas violée par une association de machines. Onappellerelation de transition ourelation d’accessiblilité delamachineMlafonction ∆ définie de {0,1} n ×{0,1} n dans {0,1}, telle que ∆(⃗y,⃗y ′ ) = 1 si et seulement si il existe une transition de l’état ⃗y à l’état ⃗y ′ . De même, on appelle relation de sortie la fonction Λ définie de {0,1} n ×{0,1} r dans {0,1}, telle que Λ(⃗y,⃗z) = 1 si et seulement si à partir de l’état ⃗y de la machine, on peut produire la sortie ⃗z en acceptant une entrée. Plus
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2 2.4.4 Forme sans quantificateur d
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