Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

124 ANNEXE A. TERME, RÉÉCRITURE, FORME NORMALE ET CANONIQUE
Unification
On définit un ordre partiel sur T par : t ≼ t ′ si et seulement si il existe une substitution
σ telle que σ(t) = t ′ . Intuitivement, ceci revient à dire que t est “plus général” ou “moins
instancié” que t ′ . Pour un ensemble de variables V, on définit aussi un ordre partiel sur
les substitutions par : σ ′ ≼ [V]σ si et seulement si il existe une substitution ̺ telle que
pour toute variable x de V, σ ′ (x) = ̺(σ(x)). On dit que deux termes t et t ′ sont unifiables
si et seulement si il existe une substitution σ tel que σ(t) = σ(t ′ ). Si V est un ensemble
de variables contenant les variables qui apparaissent dans t et t ′ , on peut alors montrer
qu’il existe un unificateur minimal au sens de ≼ [V], unique modulo un renommage des
variables.
Réécriture
Une réécriture consiste à appliquer une transformation syntaxique sur un terme. Essentiellement,
une règle de réécriture est une relation sur T . On notera (l→r) une règle de
réécriture, où l et r sont des termes (éventuellement construits à partir d’un sur-ensemble
de V et ⋃ k≥0F k ). On appelle système de réécriture R un ensemble dénombrable de règles
de réécriture. Un système de réécriture R définit une relation sur T , notée R →, constituée
par la plus petite relation sur T contenant R, close par substitutions et remplacements,
comme indiqué ci-dessous. On confondra dans la suite cette relation avec sa fermeture
transitive.
(l → d) ∈ R ⇒ l R → d
t R → t ′ ⇒ σ(t) R → σ(t ′ )
t R → t ′ ⇒ t ′′ [x ← t] R → t ′′ [x ← t ′ ]
Forme compatible, normale, canonique
On dit qu’un système de réécriture R est compatible avec une relation d’équivalence = T
sur T si pour tous termes t,t ′ ,t ′′ , t R → t ′ et t R → t ′′ implique t ′ = T t ′′ . Etant donné
un système de réécriture R, on dit qu’un terme t est réécrit sous une forme normale t ′
si t R → t ′ , et tout terme t ′′ tel que t ′ R → t ′′ satisfait t ′′ = t ′ . On dit qu’un système de
réécriture est normal si tout terme possède une forme normale. On dit qu’un système de
réécriture est canonique si tout terme possède une forme normale unique. On notera ˆt la
forme canonique du terme t, et = R la relation d’équivalence engendrée par un système de
réécriture canonique R.
Une forme canonique R compatible avec une relation d’équivalence = T sur T est telle
que = R et = T coincident. Ceci signifie que t = T t ′ si et seulement si ˆt = ˆt ′ , c’est à dire si
ˆt et ˆt ′ sont syntaxiquement égaux. Ainsi une forme canonique compatible avec = T permet
de reporter le processus de décision lié à l’expression t = T t ′ sur un processus de transformation
syntaxique. L’existence d’un système de réécriture canonique ou normal, et compatible,
avec certaines propriétés (décidabilité, finitude, terminaison, tractabilité) sont des
problèmes directement liés à ce qui est connu sous l’expression générique “démonstration
automatique”.