Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.4. MANIPULATIONS DE GRAPHES DE DÉCISION 55
Un cas particulier de composition est celui de la composition close. Soit g(y 1 ,...,y n )
un graphe dont le support est inclus dans {y 1 ,...,y n }, et soit n graphes f 1 ,...,f n . Alors
g(f 1 ,...,f n ) est une composition close, c’est à dire que toutes les variables de g sont
substituées. On peut remarquer que tous les résultats donnés précédemment tiennent pour
la composition close, puisque toutes les démonstrations utilisent des compositions closes.
Il existe un algorithme de complexité borné par O(|g| × ∏ n
k=1 |f k |) calculant l’évaluation
closeg(f 1 ,...,f n ). Parcontre, etcecirejointlaremarquesurlasubstitutiond’unevariable
(est-ce un problème quadratique ou cubique ?), il semble que la composition non close soit
en O(|g| 2 × ∏ n
k=1 |f k |).
2.4.4 Forme sans quantificateur d’un graphe quantifié
Nous étudions ici le problème du calcul du graphe de la forme sans quantificateur d’une
formule quantifiée (Q 1 x 1 ...Q n x n f), où f est un graphe. Les théorèmes qui suivent
montrent que dans le pire cas, cette élimination conduit à un graphe de taille exponentielle
par rapport à n.
Théorème 2.13 Etant donné un graphe f, l’obtention de la forme sans quantificateur de
(Qx f), où x est un symbole propositionnel, se fait en O(|f| 2 ).
Preuve. La taille de la forme sans quantificateur de (Qy f) est celle du graphe de
(f[y ← 0]∨f[y ← 1]). Les tailles de f[y ← 0] et f[y ← 1] sont au maximum égales à
|f|, donc la taille de la forme sans quantificateur de (Qy f) est forcément bornée par |f| 2 .
Considérons la fonction
f = λ[y x 1 ...x 4n ].((¬y ∧g 1 (⃗x))∨(y ∧g 2 (⃗x))),
( n
)
∨
g 1 = λ⃗x. (x k ∧x 2n+k ) , et
k=1
( n
)
∨
g 2 = λ⃗x. (x n+k ∧x 3n+k ) .
k=1
La taille de f est 2 n+2 +1. La forme sans quantificateur de (∃y f) est λ⃗x.(g 1 (⃗x)∧g 2 (⃗x)),
de taille 2 2n+1 . Donc la taille de la forme sans quantificateur de (∃y f) est (|f|−1) 2 /8.
✷
Théorème 2.14 Le problème de l’élimination de n variables est non polynomial vis-à-vis
de la taille du graphe ou du nombre de variables utilisées.
En particulier, il existe une fonction f de n variables, telle que :
|∃⃗x f| > 2 |f|1/2 ,
|∃⃗x f| > 2 n/4 ,
où ⃗x dénote une partie de ces n variables.
Preuve. Il suffit de considérer un graphe complètement expansé sur les n premières variables,
et dont chacun des 2 n sous graphes est celui d’une formule g k (1 ≤ k ≤ 2 n ), utilisant
2n variables x k j (avec 1 ≤ j ≤ n ou 2n+1 ≤ j ≤ 3n) chacune, de la forme
⎛ ⎞
n∨
g k = ⎝ (x k j ∧x k ⎠
2n+j)
j=1
et
avec