Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

140 ANNEXE E.
RÉDUCTION ET MINIMISATION
E.3 Minimisation d’une fonction paramétrée
Afin de réduire le graphe d’une fonction paramétrée f(⃗x,p), on va utiliser des régles basées
sur l’unification, où seule la variable p est quantifiée existentiellement. Si le graphe peut
s’unifier avec une constante, alors c’est la solution minimale. Sinon, on tente de partager
des sous-graphes du graphes. Ces règles sur les TDGs (la règle E.8 est omise pour les
BDDs) s’écrivent :
(∀⃗x ∃p f) ⇒
f → 1
(E.5)
(∀⃗x ∃p ¬f) ⇒
f → 0
(E.6)
(s est la fonction de Skolem de (∀⃗x ∃p (L ⇔ H))) ⇒
△( ,L,H) → H[p ← s] (E.7)
(s est la fonction de Skolem de (∀⃗x ∃p (L⊕H))) ⇒
△(x,L,H) → △(x,−H[p ← s],H[p ← s])
(E.8)
Ce système de réécriture, utilisé conjointement avec l’élimination des variables inutiles,
donne de bon résultats. Cependant, sa complexité est exponentielle, et cette technique
ne peut être donc utilisée avec profit que lors d’une phase de minimisation complète d’un
ensemble de fonctions, par exemple les fonctions de transitions et de sorties d’une machine
séquentielle, en vue d’assurer une implémentation non redondante et compacte. Pourtant
la minimisation est un problème qui permet d’accélérer considérablement l’évaluation de
certaines opérations, par exemple les compositions qui interviennent lors de la vérification
deformulesCTL(voirSection5.3.1). Lasectionsuivanteprésenteunopérateurpolynomial
dévolu à cette tâche.
E.4 Réduction polynomiale : l’opérateur “Restrict”
Nous présentons ici un opérateur très simple, appelé “restrict”, qui permet de réduire une
fonction f sur un domaine d’utilisation D. Si son pouvoir de réduction est moins puissant
(écarts de 0% à 60%) que celui de la technique présentée précédemment, “restrict” a
l’avantage de s’évaluer quadratiquement, alors que la première technique est exponentielle.
La définition algorithmique de “restrict”, noté “⇓”, est donnée Figure 38. Cette fonction
opère sur les graphes ou les formes de Shannon des fonctions f et D, et retourne
le graphe de (f⇓D). A partir de cette définition algorithmique, on déduit les deux
théorèmes suivants, montrant que “restrict” permet de réduire une fonction f sur un
domaine d’utilisation D.