Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

3.2. COMPARAISON DE MACHINES SÉQUENTIELLES 73
produits initiaux, pour énumérer l’ensemble de ses états et transitions valides, et vérifier
que ceux-ci ne peuvent produire que la sortie 1.
Le problème est évidemment l’explosion combinatoire : une machine (n,m,ω,δ,Init)
possède potentiellement 2 n états et 2 n+m transitions. La simulation est donc vite dépassée
par le nombre prohibitif de cas à envisager. Cette technique fut ensuite améliorée [118]
en n’énumérant que des cubes représentant des groupes de transitions. Cependant,
l’énumération des états valides demeure. Les limites des méthodes présentées ci-dessus
découlent du fait que les ensembles d’états sont représentés en extention, et donc que les
états sont manipulés individuellement.
Afin de se libérer de ces limites, nous proposons ici de manipuler des ensembles d’états,
représentés en intention par leur fonction caractéristique. L’ensemble des états valides
d’une machine (n,m,r,ω,δ,Init) peut être défini comme la limite de la suite d’ensembles
(V k ) k≥0 définie par les équations
V 0 = Init, et (3.1)
V k+1 = V k ∪{⃗y ′ / ∃⃗y ∈ V k , ∃⃗x ∈ {0,1} m , ⃗y ′ = δ(⃗y,⃗x)}. (3.2)
La preuve se fait en montrant que, pour k ≥ 0, on a l’égalité
{ω(⃗y,⃗x) / ⃗y ∈ V k , ⃗x ∈ {0,1} m } = {1}. (3.3)
Leséquationsci-dessuspeuvents’écrireavecl’opération“Img”,oùImg(g,A)estl’ensemble
{g(x) / x ∈ A}, c’est à dire l’image de la fonction g sur l’ensemble A. Le second terme
droite de 3.2 est Img(δ,V k ×{0,1} m ), c’est à dire Img( ⃗ f,λ⃗y.λ⃗x.(V k (⃗y)∧Cns(⃗y,⃗x))). De
même, le terme gauche de l’équation 3.3 est Img(ω,V k ×{0,1} m ), c’est à dire Img(ω,V k ).
Le calcul des états valides devient donc :
V 0 = Init, et (3.4)
(
V k+1 = λ⃗y. V k (⃗y)∨Img ( f,λ⃗y.λ⃗x.(Vk ⃗ (⃗y)∧Cns(⃗y,⃗x)) ) )
(⃗y) . (3.5)
Cetteéquationdepointfixecorrespondàunparcoursvirtuel en avant et en largeur d’abord
du diagramme d’états de la machine séquentielle M. La figure ci-dessous montre un calcul
des états valides, effectué en 4 étapes en utilisant les équations 3.1 et 3.2. Chacun des
ensembles grisés est l’ensemble des états nouvellement découverts à chaque itération de
l’équation 3.2, qui est égal à (V k+1 \V k ).