Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

3.3.
VÉRIFICATION DE PROPRIÉTÉS TEMPORELLES 77
vérifier directement par énumération que (⃗y |= f), on calcule la fonction caractéristique
F des états qui satisfont f, puis on vérifie que F(⃗y) = 1. Nous décrivons ci-après un
algorithme basé sur cette technique, qui ne nécessite aucune construction de graphe d’état.
L’algorithme prend comme entrées une machine M décrite par son 6–uplet
(n,m,r,ω,δ,Init) et la formule temporelle f à valider. Il calcule récursivement l’ensemble
d’états de la machine M qui satisfont la formule f à partir des ensembles d’états satisfaisant
les sous-formules de f. A chaque étape, il n’y a que cinq cas à considérer, correspondant
aux cinq types de formules donnés dans la section précédente.
Les formules de type propositionnelle
Les ensembles d’états sont représentés par les DAGs de leurs fonctions caractéristiques.
Ainsi les formules de type (1) et (2) sont triviales à traiter. Par exemple, si f = (f 1 ∧f 2 ),
et F 1 et F 2 sont les fonctions caractéristiques des ensembles d’états satisfaisant respectivement
f 1 et f 2 , alors F est λ⃗y.(F 1 (⃗y)∧F 2 (⃗y)). Le coût de calcul du DAG de F est en
O(|F 1 |×|F 2 |). De la même façon, ⃗y |= f si et seulement si F(⃗y) = 1, ce qui est calculé en
O(n). Finalement, (M |= f) si et seulement si (Init ⇒ F) est une tautologie, ce qui est
calculé en O(|Init|×|F|). Les autres types de formules temporelles sont moins immédiats
à traiter, et leur traitement repose sur des équations de points fixes [46, 29, 30].
Les formules de type EX et AX
Soit f une formule et F l’ensemble d’états satisfaisant f. L’ensemble d’états EX qui
satisfont EX(f) est défini par EX = {⃗y / ∃⃗x δ(⃗y,⃗x) ∈ F}. Sa fonction caractéristique
est :
EX = λ⃗y.(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧F( ⃗ f(⃗y,⃗x))). (3.6)
Comme AX(f) = ¬EX(¬f), la fonction caractéristique AX de l’ensemble d’états satisfaisant
AX(f) est :
Les formules de type EU et AU
AX = λ⃗y.(¬(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧¬F( ⃗ f(⃗y,⃗x))). (3.7)
Soient f et g deux formules et F et G les ensembles d’états qui satisfont respectivement f
et g. L’ensemble EU d’états de la machine M qui satisfont la formule E[fUg] est défini
comme la limite de la suite d’ensembles (E k ) suivante [40, 21, 46, 29] :
E 0 = G,
et
E k+1 = E k ∪{⃗y / (⃗y ∈ F)∧(∃⃗x δ(⃗y,⃗x) ∈ E k )}.
Les fonctions caractéristiques de ces ensembles sont les suivantes :
E 0 = G, et (3.8)
(
E k+1 = λ⃗y. E k (⃗y)∨ ( F(⃗y)∧(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧E k ( f(⃗y,⃗x))) ⃗ )) . (3.9)