Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

INTRODUCTION 13
Le Chapitre 2 étudie la représentation des fonctions booléennes. Nous y exposons les
représentations déjà connues des fonctions booléennes par des graphes, et nous en proposerons
quelques autres. Nous avons surtout développé une analyse des complexités de
leurs manipulations. Puis nous montrons la supériorité des formes canoniques graphiques
sur deux autres représentations très utilisées dans la démonstration automatique, la forme
normale disjonctive (ou somme de produits), et la forme de Reed-Muller (ou somme
exclusive de produits).
Le Chapitre 3 expose les deux aspects de la vérification de machines séquentielles : comparaison
de comportements observables de machines et vérification de propriétés temporelles.
Nous montrons que la solution de ces deux problèmes repose sur deux primitives,
respectivement le calcul de l’image d’une fonction vectorielle, et le calcul de l’image
réciproqued’unefonctionvectorielle. Nousaborderonsaussi, maissuccintement, lesautres
manipulations formelles fournies par SIAM pour la réduction/minimisation de machines.
Sur le probème de la réduction de complexité, on trouvera dans l’Annexe E une courte
discussion sur la minimisation combinatoire, qui consiste à réduire la représentation d’une
fonction partielle.
LeChapitre4étudielecalculdel’image,quiestlaprimitiveessentiellepourlacomparaison
de machines. Nous discutons de la complexité de ce calcul, et proposons plusieurs algorithmes
pour son évaluation. Puis nous donnons et analysons des résultats expérimentaux
sur un ensemble de machines, qui montreront la supériorité de notre approche symbolique
sur les techniques de comparaison de comportements observables proposées dans le passé.
Le chapitre 5 étudie le calcul de l’image réciproque, qui est la primitive essentielle pour la
preuve de propriétés temporelles. Là encore, nous analyserons la complexité de ce calcul,
etnousdonneronsdesrésultatsexpérimentauxobtenuschezBULLetpard’autreséquipes.
Ces résultats montrent que l’approche symbolique que nous décrivons permet de résoudre
des problèmes inabordables avec les techniques du type Model Checking.
Notre contribution
Lalogiquepropositionnelleestunformalismesimplesupportantladémonstrationautomatique
complète, et permettant de modéliser tout problème de domaine d’interprétation
fini. Nous avons trouvé commode d’introduire les quantificateurs, car si la quantification
n’ajoute rien à la “puissance” de la logique propositionnelle, elle permet de représenter
linéairement des formules dont la forme sans quantificateur est de taille exponentielle, et
aussidedécriresimplementunsystèmederésolutioncompletpouvantremplirdemultiples
usages [92, 93, 95, 49, 50, 51].
La technique de représentation des fonctions booléennes par les TDGs (Typed Decision
Graphs, ou graphes de décision typés) a été développée au Centre de Recherche de BULL
depuis 1987, parallèlement aux BDDs (Binary Decision Diagram) de R. E. Bryant introduits
en 1986. Nous avons contribué au développement des graphes en tant que
représentation des fonctions booléennes, en étudiant leurs propriétés et complexité. Nous
avons proposé et amélioré de nouveaux algorithmes de manipulation. Nous avons aussi