Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

94 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
Figure 26. Restricteur d’image strict.
d’image strict srr est tel que χ(⃗x) = 1 implique ( ⃗ f srr χ)(⃗x) = ⃗ f(⃗x). Autrement dit, les
comportements de ⃗ f et ( ⃗ f srr χ) sur χ sont identiques. En particulier, ( ⃗ f srr 1) = ⃗ f.
Théorème 4.11 Pour tout χ ≠ 0, et tout restricteur d’image strict srr, on a :
si (χ ⇒ f) alors (f srr χ) = 1 (4.2)
si (χ ⇒ ¬f) alors (f srr χ) = 0 (4.3)
(f srr 1) = f (4.4)
(χ srr χ) = 1 (4.5)
((¬χ) srr χ) = 0 (4.6)
(1 srr χ) = 1 (4.7)
(0 srr χ) = 0 (4.8)
Le comportement d’un restricteur d’image strict est entièrement caractérisé par
son projecteur. Par exemple, nous pouvons prendre comme projecteur P la fonction
λχ.λ⃗x.((χ(⃗x)∧⃗x)∨(¬χ(⃗x)∧⃗x 0 )), où ⃗x 0 est un élément de {0,1} m qui satisfait χ [44]. Un
restricteur d’image strict srr basé sur ce projecteur est :
srr = λ ⃗ f.λχ.λ⃗x.((χ(⃗x)∧ ⃗ f(⃗x))∨(¬χ(⃗x)∧ ⃗ f(⃗x 0 )))
Donc étant donnée une fonction vectorielle ⃗ f, calculer les DAGs de ( ⃗ f srr χ) consiste à :
trouver un élément ⃗x 0 du domaine {0,1} m tel que χ(⃗x 0 ) = 1, ce qui est en O(|χ|) ; puis
calculer l’élément [v 1 ...v n ] du codomaine {0,1} n égal à ⃗ f(⃗x 0 ), ce qui est en O(n×m) ;