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2.3. FORMES CANONIQUES GRAPHIQUES 33 s k = |L k |+|H k |+1. Comme L k = ¬H k , on a |L k | = |H k | = |T k+1 |, d’où s k = 2s k+1 +1. Comme T n = △(x n ,0,1), on a s n = 1, et donc s k = 2 n−k+1 −1. Finalement, la taille de la formule f 1 est 2 n −1. On peut alors remarquer que f 1 (x 1 ,...,x n ) = 1 si et seulement si il y a un nombre impair de 1 dans [x 1 ...x n ]. Ceci signifie que la fonction f 1 est symétrique, c’est à dire invariante pour toute permutation de ses variables. En particulier, quel que soit l’ordre choisi sur les variables, la taille de son arbre réduit est 2 n −1. ✷ La complexité du calcul des arbres réduits est liée à la complexité du problème consistant à savoir si une variable est redondante dans une formule. Une variable x est redondante dans une formule f si et seulement si (f[x ← 0] ⇔ f[x ← 1]). Or tester si une variable x est redondante sur un arbre réduit consiste simplement à parcourir l’arbre pour vérifier l’absence d’occurrence de x, ce qui est fait linéairement par rapport à la taille de l’arbre réduit, alors que le test de redondance est NP–complet sur une formule. Théorème 2.4 Savoir si une variable est redondante dans une formule propositionnelle est un problème NP–complet. Preuve. Soit f une formule propositionnelle de longueur n. Considérons la formule f ′ définie par (f ∧ x), où la variable x n’a pas d’occurrence dans f. Cette formule f ′ est construite en O(n). On a évidemment f ′ [x ← 0] = 0, et f ′ [x ← 1] = f. Alors f est satisfiable si et seulement si x n’est pas redondante dans f ′ , ce qui montre que le problème de la redondance est NP–difficile. Réciproquement, soit f une formule de longueur n. On construit la formule f ′ définie par (f[x ← 0]⊕f[x ← 1]) en O(n). Alors x est redondante dans f si et seulement si f ′ n’est pas satisfiable. Donc le problème de la redondance se réduit polynomialement au problème de la satisfiabilité. ✷ L’élimination des noeuds redondants diminue considérablement la taille des arbres de Shannon dans bien des cas. Une façon d’étudier l’intérêt des arbres réduits par rapport aux arbres de Shannon est de calculer la fonction de répartition de leurs tailles, ainsi que leur taille moyenne. Soit N n s le nombre d’arbres réduits de taille s utilisant tout ou partie des variables {x 1 ,...,x n } avec un ordre fixé. On dispose des identités suivantes. Les fonctions admettant un arbre réduit de taille nulle sont les fonctions qui ne possèdent aucune variable non redondante, c’est à dire les deux fonctions constantes 0 et 1, d’où N n 0 = 2. Les fonctions sur n variables x 1 ,...,x n qui possèdent exactement une seule variable non redondante sont les fonctions du type λ⃗x.(x k ) ou λ⃗x.(¬x k ) pour 1 ≤ k ≤ n, d’où N n 1 = 2n. Une fonction sans variable est constante, donc de taille nulle, d’où N 0 s = 0 pour s > 0. La taille maximale d’un arbre réduit sur n variables est 2 n −1, d’où N n s = 0 pour s > 2 n −1. Le nombre de fonctions de {0,1} n vers {0,1} est 2 2n , d’où ( ∑ ∞ s=0 N n s) = 2 2n . Le nombre N n s est la somme de N n−1 s , qui est le nombre d’arbres réduits de taille s utilisanttoutoupartiede{x 1 ,...,x n−1 }, etdunombred’arbresréduitsdetaillesutilisant la variable x n . On construit un arbre réduit △(x n ,t,t ′ ) de taille s utilisant la variable x n
34 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES s \ n 0 1 2 3 4 5 0 2 2 2 2 2 2 1 2 4 6 8 10 2 8 24 48 80 3 2 46 172 420 4 72 544 2000 5 72 1464 8648 6 32 3392 34464 7 2 6520 125148 8 10472 418504 9 13296 1284144 10 13408 3619744 11 9904 9356792 12 4896 22163360 13 1280 48026690 14 128 95006460 15 2 170962500 16 278598300 17 408770400 18 536272800 19 623837700 20 636879100 21 563235300 22 424271100 23 266115100 24 134750100 25 52805790 26 15122820 27 2930112 28 347264 29 21376 30 512 31 2 s moyen 0 0.5 1.625 4.085938 9.152008 19.30384 Table 1. Répartition par taille des arbres réduits de Shannon. en choisissant deux arbres réduits t et t ′ sur {x 1 ,...,x n−1 }, tels que |t| + |t ′ | = s − 1 et t ≠ t ′ . On en déduit les équations suivantes : ( 2s−1 ) ∑ N2s n = N2s n−1 + Nk n−1 ×N2s−k−1 n−1 (2.9) k=0 N n 2s+1 = N n−1 2s+1 + ( ∑2s ) Nk n−1 ×N2s−k n−1 −Ns n−1 (2.10) k=0
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3.5. CONCLUSION 83 suivants.
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Chapitre 4 Calcul de l’image d’
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4.2. CALCUL DIRECT DE IMG( ⃗ F,χ
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4.3. DÉCOMPOSITION DU CALCUL DE L
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4.3. DÉCOMPOSITION DU CALCUL DE L
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4.4. RESTRICTEUR D’IMAGE 93 du Th
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4.5. L’OPÉRATEUR “CONSTRAIN”
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4.6. CHOIX D’UNE COUVERTURE 101 l
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4.7. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ET D
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4.7. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ET D
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4.8. CONCLUSION 107 4.8 Conclusion
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Chapitre 5 Calcul de l’image réc
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5.2. CALCUL DE PRE( F,CNS,χ) ⃗
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5.5. CONCLUSION 117 graphes de la f
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CONCLUSION 119 Conclusion Lavérifi
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Annexes 121
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136 ANNEXE D. ENSEMBLE DE FONCTIONS
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156 INDEX redondante, 80 vectochar,
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