Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Chapitre 5
Calcul de l’image réciproque d’une
fonction
Etant donnés les DAGs des fonctions ⃗ f de {0,1} m dans {0,1} n , de Cns de {0,1} m dans
{0,1}, etdeχde{0,1} n dans{0,1}, nousétudionsicidesalgorithmescalculantlafonction
Pre( ⃗ f,Cns,χ), définie de {0,1} n dans {0,1}. Après avoir présenté quelques résultats de
complexité, nous comparons ce problème à celui du calcul de l’image, et montrons qu’il
est plus complexe. Nous proposons alors quelques techniques de calcul, en discutant leurs
intérêts respectifs.
5.1 Difficulté du calcul de Pre( ⃗ f,Cns,χ)
La difficulté intrinsèque du problème est indiquée par le théorème suivant, qui montre que
le calcul de Pre( ⃗ f,Cns,χ) est NP–difficile 1 . On obtient le Théorème 5.2 plus précis quant
aux graphes de décision.
Théorème 5.1 Etant données les formes canoniques de ⃗ f et de χ, la canonisation de
Pre( ⃗ f,1,χ) est NP–difficile.
Preuve. Nous ne donnons que la preuve sur les DAGs. Soit C = ( ∧ n
k=1 c k ) une
3–forme normale conjonctive composée de n clauses c k . Chaque clause c k est une disjonction
de trois littéraux, donc le calcul des graphes de toutes les clauses se fait en O(n).
Soit χ le graphe de la fonction λ[x 1 ...x n ].( ∧ n
k=1 x k ). Ce graphe est un peigne, construit
en O(n). Tester si le graphe de Pre( ⃗ f,1,χ) est différent de 0 se fait en O(1). Or C est
satisfiable si et seulement si Pre( ⃗ f,1,χ) ≠ 0, donc calculer Pre( ⃗ f,1,χ) est NP–difficile.
✷
Théorème 5.2 Etant donnés les DAGs de ⃗ f et χ, le calcul de Pre( ⃗ f,1,χ) pour un ordre
des variables fixé est non polynomial.
1 On a Pre( ⃗ f,Cns,χ) = Pre( ⃗ f@[Cns],1,λ(⃗y@[y n+1 ]).(χ(⃗y) ∧ y n+1 )). Comme le graphe de
λ(⃗y@[y n+1 ]).(χ(⃗y)∧y n+1 ) est obtenu à partir du graphe de χ par un produit en O(|χ|), donc polynomial,
le calcul de Pre( ⃗ f,Cns,χ) et Pre( ⃗ f,1,χ) sont de même classe de complexité.
109