Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

52 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
que la substitution d’une variable d’un graphe g par un graphe f peut être au moins en
O(|g|×|f|). Il suffit de considérer les variables x 0 < x 1 < ... < x 2n+2m , et prendre
( n
)
∨
g = (x 0 ∨ (x k ∧x n+m+k ) ) et
k=1
( m
)
∨
f = (x n+k ∧x 2n+m+k ) .
k=1
La substitution de la variable x 0 du graphe g par le graphe f conduit à calculer ( ∨ n+m
k=1 (x k∧
x n+m+k )), dont la preuve du Théorème 2.9 a montré la taille en O(|f|×|g|). Cependant,
le problème de savoir si le pire cas est en O(|g|×|f|) ou en O(|g| 2 ×|f|) reste ouvert.
Le problème de la composition est une généralisation du problème de la substitution.
Ce problème est le suivant : étant donnés les graphes des formules f 1 ,...,f n et g, calculer
le graphe de la formule g[x 1 ← f 1 ,..., x n ← f n ]. La composition est une opération intrinsèquement
plus complexe que celles vues précédemment, comme le montre le théorème
suivant.
Théorème 2.11 La composition sur une forme canonique est NP–difficile.
Preuve. Nous donnons la preuve sur le cas particulier des graphes de décision, son extention
à une forme canonique quelconque ne demandant que des développements techniques.
SoitC = ( ∧ n
k=1 c k )une3–formenormaleconjonctivecomposéedenclauses. Chaqueclause
est une disjonction de trois littéraux, donc son graphe est construit en un temps constant.
Ainsi le calcul des graphes f 1 ,...,f n des n clauses est en O(n). Soit g le graphe de la
fonction λ[x 1 ...x n ].( ∧ n
k=1 x k ). Ce graphe est un peigne construit en O(n). Tester si un
graphe est différent de zéro est en O(1). Comme C est satisfiable si et seulement si le
graphe de g(f 1 ,...,f n ) est différent de 0, calculer g(f 1 ,...,f n ) est NP–difficile. ✷
On obtient un théorème plus précis sur les graphes avec l’hypothèse d’un ordre des
variables fixé.
Théorème 2.12 Etant donné un ordre fixé des variables, la composition est un problème
de complexité au moins exponentielle vis-à-vis de la taille des graphes et/ou du nombre de
variables utilisées. Plus précisément, il existe des graphes f 1 ,...,f n , g ayant 2n variables,
dont la taille cumulée est en O(n), tels que le graphe de g(f 1 ,...,f n ) est en O(2 n ).
Preuve. Nous allons exhiber des graphes g et f 1 ,...,f n , construits sur 2n variables, tels
que (|g| + ∑ n
k=1 |f k |) = O(n), et tels que |g(f 1 ,...,f n )| = O(2 n ). On pose l’ordre des
variables suivant : y 1 < y 2 < ... < y 2n . Soit
( n
)
∧
g = λ[x 1 ...x n ]. x k
k=1
Le graphe de cette fonction est une branche de profondeur n, donc de taille en O(n).
Soient les n fonctions f 1 ,...,f n définies par
f k = λ[y 1 ...y 2n ].(y k ⇔ y 2n−k+1 ),