Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

32 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Il faut noter que, contrairement à celle de l’arbre de Shannon, la taille de l’arbre réduit
d’une formule dépend de l’ordre des variables selon lequel est effectuée l’expansion. La
Figure 3 montre l’arbre réduit de Shannon de la formule (x 1 ∧(x 3 ⊕a 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 )).
Figure 3. Arbre réduit de (x 1 ∧(x 3 ⊕a 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 )).
La négation sur les arbres réduits est effectuée avec les mêmes règles de réécriture que
celles utilisées pour les arbres de Shannon. Pour évaluer la disjonction de deux arbres
réduits, on ajoute la règle suivante, et on utilisera la commutativité de la disjonction.
Dans cette règle, on définit ≼ par : x k ≼ 0; x k ≼ 1; x k ≼ △(x j , , ) si et seulement si
k ≤ j.
(x ≺ t) ⇒
t∨△(x,L,H) → △(x,(t∨L),(t∨H))
On notera dans la suite par |t| la taille d’une représentation t, c’est à dire le nombre
de structures △( , , ) contenues dans t. Le calcul des arbres réduits reste évidemment
exponentiel, comme le montre le théorème suivant.
Théorème 2.3 Le calcul de l’arbre réduit de Shannon d’une formule propositionnelle est
exponentiel. Plus précisément, il existe au moins une formule de n variables, de taille
O(n), dont l’arbre réduit est de taille 2 n − 1, et ceci quel que soit l’ordre choisi sur les
variables pour effectuer l’expansion de Shannon.
Preuve. Tout arbre réduit a une taille bornée par 2 n −1, où n est son nombre de variables.
Soit la formule (x 1 ⊕x 2 ⊕...⊕x n ). Elle utilise n variables et sa taille est en O(n). Nous
allons montrer que la taille de son arbre réduit est 2 n −1.
Soit f k la formule (x k ⊕ x k+1 ⊕ ... ⊕ x n ). Il est clair que f k [x k ← 0] = f k+1 , et
que f k [x k ← 1] = ¬f k+1 . Donc x k est forcément non redondante dans la formule f k ,
et l’arbre réduit T k de celle-ci s’écrit T k = △(x k ,L k ,H k ), où L k (respectivement H k )
est l’arbre réduit de f k+1 (respectivement ¬f k+1 ). Soit s k la taille de l’arbre T k . On a