Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

92 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
Ceci signifie qu’un couple ([f 1 ...f k ],χ) dans le cache dénote l’image de (k! × 2 k )
vecteurs de longueur k. La complexité du test d’identification étendue dépend directement
de la représentation des fonctions booléennes. En utilisant les BDDs, tester si une fonction
f estlanégationdeg estenO(max(|f|,|g|)). Doncpourtoutordretotal“≼”surlesBDDs,
si la fonction λf.λg.((f ≼ g) ∧ (g ≼ f)) et la fonction λf.λg.((f = g) ∨ (f = ¬g)) sont
égales, alors λf.λg.(f ≼ g) peut être évaluée au mieux en O(max(|f|,|g|)). Ceci implique
que les propriétés traduites par les Théorèmes 4.8 et 4.9 sont relativement coûteuses à
tester avec les BDDs : le test d’identité étendue entre deux vecteurs ⃗ f et ⃗g de dimension
k est en O(klogk ×(| ⃗ f|+|⃗g|)).
Ceci est entièrement différent avec les TDGs. Tester si une fonction f est la négation
de g est en O(1). Les composantes d’un vecteur [f 1 ...f k ] sont ordonnées selon l’ordre
total “≼” défini par : (f ≼ g) si et seulement si add(f) ≤ add(g), où add(f) est l’adresse
en mémoire du graphe de f si f est positive, et add(f) est l’adresse du graphe de ¬f
si f est négative. Notons que cet ordonnancement fait que le processus de réécriture
d’un vecteur ⃗ f en un couple (c,P) est canonique. Cet ordonnancement, qui peut être
directement fait dans la fonction “eliminate-and-partition”, s’effectue en O(klogk). Une
fois le vecteur ordonné, les deux propriétés 4.8 et 4.9 sont testées en O(k), ce qui fait que
le test d’identité étendue est effectué en O(klogk). Ce test sur les TDGs ne dépend que
de la longueur du vecteur, et pas de la taille des graphes.
Nous devons maintenant étudier le choix d’un restricteur d’image qui puisse décomposer
efficacement le calcul de l’image, ce qui nous conduira à introduire le restricteur d’image
“constrain”.
4.4 Restricteur d’image
Comme le coût des manipulations des DAGs est directement lié à leur taille, le meilleur
restricteur d’image rr est celui qui minimise la taille des DAGs de ( ⃗ f rr χ). Mais le
théorème suivant indique que le restricteur d’image rr qui minimise la taille du graphe de
( ⃗ f rr χ) est beaucoup trop coûteux.
Théorème 4.10 Etant donnés les arbres de Shannon réduits (ou les DAGs) d’un vecteur
⃗f, trouver un vecteur ⃗ f ′ satisfaisant Img( ⃗ f ′ ,1) = Img( ⃗ f,1) et ayant des arbres de Shannon
minimaux (ou des DAGs minimaux) est NP–difficile.
Preuve. Nous ne donnons la preuve que sur les arbres de Shannon réduits, la preuve
pour les DAGs étant analogue. D’une part, tout vecteur ⃗ f ′ de n composantes tel que
Img( ⃗ f ′ ,1) = 1 doit disposer de n variables indépendantes, donc | ⃗ f ′ | ≥ n. D’autre part, la
fonction vectorielle identité Id est de taille n, et Img(Id,1) = 1. Donc tout vecteur ⃗ f ′ de
n composantes tel que Img( ⃗ f ′ ,1) = 1 et qui minimise la forme de Shannon est de taille n.
Alors on voit que tout vecteur ⃗ f ′ de n composantes tel que Img( ⃗ f ′ ,1) = 1 et qui minimise
la forme de Shannon est égal à l’une des n!×2n fonctions λ⃗x.[ε 1 (x π(1) )...ε n (x π(n) )], où π
est une permutation des n premiers entiers. Alors tester si Img( ⃗ f,1) = 1 revient d’abord à
calculer le vecteur minimal ⃗ f ′ tel que Img( ⃗ f ′ ,1) = Img( ⃗ f,1), puis vérifier que ⃗ f ′ est d’une
des formes décrites ci-dessus, ce qui peut être fait en O(n 2 ). Une preuve similaire à celle