Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

20 CHAPITRE 1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE QUANTIFIÉE
elles, on confondra souvent formule et fonction. On rajoute au vocabulaire des formules
propositionnelles l’ensemble des constantes F 0 = {0,1} pour dénoter l’antilogie et la tautologie.
Par abus de langage, on écrira “=” pour “= B ”. Un n–uplet x de {0,1} n sera noté
par un vecteur [x 1 ...x n ], ou ⃗x s’il n’y a pas d’ambiguité sur n. La concaténation sur les
vecteurs est notée “@”. On utilisera la curryfication pour alléger l’écriture des fonctions,
ce qui permet d’écrire indifféremment λx 1 ...λx n .λy.f, ou bien λ[x 1 ...x n ].λy.f, ou bien
λ⃗x.λy.f, ou encore λ(⃗x@[y]).f.
1.2 Elimination des quantificateurs
Nous montrons ici qu’il existe essentiellement deux procédés d’obtention d’une forme sans
quantificateur, l’un consistant à éliminer les quantificateurs de la gauche vers la droite,
l’autre consistant à les éliminer de la droite vers la gauche.
On dit qu’une formule est sous forme prénexe si elle est de la forme (Q 1 x 1 ...Q n x n f),
où Q k est un quantificateur, et f une formule sans quantificateur (on a éventuellement
n = 0). Pour toute formule propositionnelle quantifiée, on peut construire un arbre
syntaxique dont les feuilles sont des formes prénexes, et les noeuds sont des connecteurs
logiques, des symboles de fonctions, ou des quantificateurs. Le problème de l’obtention
d’une forme sans quantificateur revient donc à étudier l’élimination des quantificateurs
d’une forme prénexe. L’élimination est basée sur le théorème suivant, qui découle de la
sémantique des formules.
Théorème 1.2 Soit f une formule quelconque, et x une variable ne possédant pas
d’occurrence liée dans f. On a les identités suivantes, qu’on appelera Q–éliminations.
L’identité 1.1 est appelée élimination existentielle ou ∃–élimination, et l’identité 1.2 est
appelée élimination universelle ou ∀–élimination.
(∃x f) = (f[x ← 0]∨f[x ← 1]) (1.1)
(∀x f) = (f[x ← 0]∧f[x ← 1]) (1.2)
1.2.1 Elimination gauche-droite des quantificateurs
Soit (∃x 1 Q 2 x 2 ...Q n x n f) une forme prénexe. Cette formule est équivalente à la formule :
(Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 0])∨(Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 1]) (1.3)
De même, la formule (∀x 1 Q 2 x 2 ...Q n x n f) est équivalente à la formule :
(Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 0])∧(Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 1]) (1.4)
De cette façon, la première variable quantifiée et son quantificateur sont éliminés.
Il y a ensuite deux façons d’utiliser ce processus d’élimination du quantificateur le plus
à gauche d’une forme prénexe.