Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

4.4. RESTRICTEUR D’IMAGE 93
du Théorème 4.3 montre facilement que tester si Img( f,1) ⃗ = 1, où la forme de Shannon
de f ⃗ est donnée, est NP–difficile.
✷
Le problème est alors de définir un restricteur d’image qui puisse être évalué polynomialement.
Un restricteur d’image polynomial sur la structure récursive des formules
propositionnelles (arbres syntaxiques, formes de Shannon, DAGs) doit pouvoir être appliqué
récursivement sur ces structures. Comme ces structures peuvent être exprimées à
partir de la négation et de la disjonction, notre problème peut se traduire par :
(1) Déterminer les restricteurs d’image rr tels que, pour toutes fonctions vectorielles ⃗ f
et ⃗g, pour toute fonction χ, on ait :
((¬ ⃗ f) rr χ) = ¬( ⃗ f rr χ), et
(( ⃗ f ∨⃗g) rr χ) = (( ⃗ f rr χ)∨(⃗g rr χ))
Etant donné que toute composition s’exprime à travers la décomposition de Shannon
par des négations et des disjonctions (propriété d’orthogonalité), ce problème peut se
reformuler ainsi :
(2) Déterminer les restricteurs d’image rr tels que, pour toutes fonctions vectorielles ⃗ f
et ⃗g, pour toute fonction χ, on ait :
(( ⃗ f ◦⃗g) rr χ) = ( ⃗ f ◦(⃗g rr χ))
Comme toute fonction f s’écrit ⃗ f ◦ Id, où Id est la fonction identité, un restricteur
d’image satisfaisant (2) est tel que ( ⃗ f rr χ) = ( ⃗ f ◦(Id rr χ)) pour toute fonction χ. Aussi
un tel restricteur d’image s’écrit λ ⃗ f.λχ.λ⃗x.( ⃗ f(Fun(χ,⃗x))), où Fun(χ,⃗x) = (Id rr χ)(⃗x)
ne dépend pas de ⃗ f. D’après la définition des restricteurs d’image, Fun est telle que pour
toute fonction χ ≠ 0, on a Img(λ⃗x.Fun(χ,⃗x),1) = χ.
NousnousinspironsdecettepropriétédeFun pourjustifierl’utilisationdesprojecteurs.
Un projecteur sur une fonction χ ≠ 0 est une fonction qui envoit le domaine sur χ. En
d’autrestermes, unprojecteurP surχ ≠ 0estunefonctionde({0,1} m → {0,1})×{0,1} m
dans {0,1} m telle que Img(λ⃗x.P(χ,⃗x),1) = χ. Alors pour tout projecteur P, la fonction
λ ⃗ f.λχ.λ⃗x.( ⃗ f(P(χ,⃗x))) est un restricteur d’image satisfaisant (2). Tout revient donc à
choisir un projecteur.
On distingue les projecteurs stricts, qui sont des projecteurs égaux à l’identité sur χ,
c’est à dire que χ(⃗x) = 1 implique P(χ,⃗x) = ⃗x. On appellera restricteur d’image strict
un restricteur d’image engendré par un projecteur strict 2 . La figure 26 montre la transformation
qu’effectue un restricteur d’image strict srr sur une fonction ⃗ f. Un restricteur
2 Un restricteur d’image strict est une extension du concept d’évaluation et de cofacteur. En effet, pour
toute fonction h, on a :
h(⃗v) = (λ⃗y.h(⃗y srr
(
∧ n
)
ε k (y k ) ),
où ε k est la négation si v k = 0 et ε k est l’identité si v k = 1. De plus, pour toute fonction χ non constante,
on a h = (¬χ∧(h srr ¬χ))∨(χ∧(h srr χ)), analogue à l’expansion de Shannon.
k=1