Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Annexe D
Ensemble de fonctions
D.1 Réprésentations d’ensembles de fonctions
Nousdonnonsicilesdifférentsmoyensd’expressionenintentiond’unensembledefonctions
booléennes, ainsiqueleurpouvoirdedénotation. Ondistingueracinqfaçonsdereprésenter
un ensemble de fonctions, à savoir : la fonction partielle, l’intervalle, la fonction de Skolem,
la fonction paramétrée, et la fonction paramétrée contrainte. On étudiera les relations
qu’entretiennent entre elles ces méthodes de représentation. En particulier, on montrera
que les pouvoirs de dénotation des quatres premières sont équivalentes (à l’ensemble vide
près), et qu’elles ne peuvent représenter que des ensembles de fonctions très particuliers.
Seule la dernière méthode permet de représenter intensivement n’importe quel ensemble
de fonctions, et en cela elle est strictement plus puissante que les quatres premières.
Fonction partielle
Une fonction partielle f ⊥ est dénotée par un couple de fonctions totales (D,f), tel que :
f ⊥ = λ⃗x.(if D(⃗x) = 1 then f(⃗x) else ⊥)
Il est aisé de voir que tout couple (D ′ ,f ′ ) dénote cette même fonction f ⊥ si et seulement
si D = D ′ et (D ⇒ (f ′ ⇔ f)) est une tautologie. On dit alors que la fonction partielle
f ⊥ représente l’ensemble des fonctions f ′ telle que le couple (D,f ′ ) dénote cette même
fonction f ⊥ .
Intervalle
Un intervalle est un couple de fonctions (g,h). On dit qu’il dénote toutes les fonctions f ′
telle que (g ⇒ f ′ ) et (f ′ ⇒ h). On écrira (g ⇒ f ′ ⇒ h) en abrégé. On dit aussi souvent
que g est le ON–set de l’ensemble, car toutes les fonctions de l’ensemble valent 1 sur g, et
que (¬h) est le OFF–set de l’ensemble, car toutes les fonctions de l’ensemble valent 0 sur
(¬h).
Fonction de Skolem
Une fonction de Skolem, c’est à dire la solution paramétrée d’une équation à une inconnue,
représente par définition un ensemble de fonctions, celui de toutes les solutions de la dite
133