Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

48 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
formes sont plus compactes que les TDGs, d’environ un rapport 2. Si ces deux formes
sont intéressantes pour illustrer la variété du typage des formes graphiques canoniques, le
gain qu’elles apportent ne semble pas justifier leur utilisation pratique [101].
2.4 Manipulations de graphes de décision
A partir de maintenant, nous ne ferons la distinction entre BDDs et graphes typés (TDGs,
graphes 4–typés, graphes symétrisés) que lorsque ce sera explicitement spécifié. Par commodité,
nous confondrons souvent une fonction et son graphe.
2.4.1 Graphe de décision d’une formule
La canonisation d’une formule est évidemment un problème NP–complet, il en est donc
de même du calcul du graphe d’une formule. Le calcul du graphe d’une formule f se fait
à partir de l’arbre syntaxique de f, en remontant des feuilles vers la racine. La Figure 11
Figure 11. Calcul du TDG de la formule (((a∧b)∨¬c) ⇒ d).
montre la construction du TDG de la formule (((a∧b)∨¬c) ⇒ d). Chacune des feuilles est
substituée par son graphe élémentaire (constantes 0 et 1, ou graphe △(x k ,0,1) pour une
variable x k ). Puis les graphes sont combinés en remontant vers la racine, par application
des opérateurs booléens intervenant dans l’arbre syntaxique de f.
2.4.2 Combinaisons de graphes de décision
Un exposé détaillé de l’implémentation des algorithmes effectuant les combinaisons
booléennes classiques (¬,∨,∧,⇒,⇔,⊕) sur les graphes de décision binaires (respectivement
les graphes de décision typés) peut être trouvé dans [27] (respectivement dans [94]).
Nous ne rappelons ici que les principes et les complexités de ces opérations.