Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

134 ANNEXE D. ENSEMBLE DE FONCTIONS
équation. Par exemple, l’ensemble des fonctions dénotées par la fonction partielle (D,f)
est aussi la fonction de Skolem de l’équation (∀⃗x ∃f ′ (D ⇒ (f ′ ⇔ f))), c’est à dire la
fonction paramétrée ((D∧f)∨(¬D∧p)).
Fonction paramétrée
En généralisant la définition ci-dessus, une fonction paramétrée est une des fonctions
de Skolem d’une équation à plusieurs inconnues, c’est à dire une fonction λ⃗x.λ⃗p.g(⃗x,⃗p)
ayantéventuellementplusieursparamètres⃗p, touslibresdeprendren’importequellevaleur
fonctionnelle sur un espace ({0,1} n → {0,1}) fixé. L’ensemble de fonctions dénoté par
λ⃗x.λ⃗p.g(⃗x,⃗p) est l’ensemble de toutes les compositions λ⃗x.g(⃗x, ⃗ f(⃗x)), où les fonctions f k
sont des fonctions totales quelconques de ({0,1} n → {0,1}).
D.2 Pouvoirs de dénotation
Les trois Théorèmes suivants montrent que les quatres techniques fonction partielle, intervalle,
fonction de Skolem, et fonction paramétrée, sont équivalentes (à l’ensemble vide
près).
Théorème D.1 Les pouvoirs de dénotation d’une fonction partielle et d’un intervalle non
vide 1 sont égaux.
Preuve. Soit une fonction partielle dénotée par le couple (D,f). Une fonction f ′ est “contenue”
par cette fonction partielle si et seulement si (D ⇒ (f ′ ⇔ f)) est une tautologie,
donc si et seulement si ((D∧f) ⇒ (f ′ ⇔ f)) et ((D∧¬f) ⇒ (f ′ ⇔ f)), c’est à dire si et
seulement si ((D∧f) ⇒ f ′ ) et ((D∧¬f) ⇒ ¬f ′ ). Cette dernière formulation s’écrit aussi
((D∧f) ⇒ f ′ ) et (f ′ ⇒ (¬D∨f)). Donc f ′ est contenue dans l’intervalle (D∧f,¬D∨f).
Réciproquement, une fonction f ′ est contenue dans l’intervalle (g,h) si et seulement si
(g ⇒ f ′ ⇒ h) est une tautologie. Posons D = (g ∨¬h) et f = g, on peut alors aisément
vérifier que f ′ est “contenue” dans la fonction partielle dénotée par le couple (D,f). ✷
Théorème D.2 Les pouvoirs de dénotation d’une équation à une inconnue et d’un intervalle
sont égaux.
Preuve. Les fonctions contenues dans l’intervalle (g,h), sont toutes représentées par la
fonction de Skolem de l’équation à une inconnue (∀⃗x ∃f ′ (g ⇒ f ′ ⇒ h)). Cette équation
possède une solution si et seulement si (g ⇒ h) est une tautologie, et sa fonction de Skolem
est (g ∨(h∧p)).
Réciproquement, soit l’équation à une inconnue de forme générale (∀⃗x ∃y f). Si une
solution existe, alors (f[y ← 0] ∨ f[y ← 1]) est une tautologie, et la fonction de Skolem
est (¬f[y ← 0] ∨ (p ∧ f[y ← 1])). On peut alors vérifier que dans ce cas, l’intervalle
(¬f[y ← 0],¬f[y ← 0]) ∧ f[y ← 1]) représente le même ensemble. S’il n’y a pas de
solution, n’importe quel intervalle vide fait l’affaire.
✷
1 Un intervalle peut éventuellement dénoter l’ensemble vide, ce qui n’est pas le cas d’une fonction
partielle.