Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

88 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
Or le DAG de cette relation ne peut pas toujours être construit. Ceci vient du fait
que les variables y j n’ont pas d’occurrence libre dans les formules f k (⃗x) (1 ≤ j ≤ n et
1 ≤ k ≤ n), et donc que la construction du produit ( ∧ n
k=1 (y k ⇔ f k (⃗x))) requiert le calcul
de la plupart des 2 n sous-produits ( ∧ n
k=1 ε k (f k )). Le graphe G représentant le produit
( ∧ n
k=1 (y k ⇔ f k (⃗x))) va croître de façon explosive, alors que la fonction Img( ⃗ f,1) obtenue
après la ∃–élimination des variables x 1 ,...,x m peut être de taille réduite.
Cette différence extrème de taille entre le graphe de ( ∧ n
k=1 (y k ⇔ f k (⃗x))) et celui de
Img( ⃗ f,1) est traduite par la Figure 22. Par exemple, si les variables y 1 ,...,y n sont
inférieures aux variables x 1 ,...,x m , on risque d’obtenir un graphe G dont les 2 n premiers
noeuds seront tous expansés. On distingue dans ce graphe 3 types de chemins :
le chemin de type (a) atteint une feuille 1 sans rencontrer de variable x k ; le chemin de
type (b) atteint une feuille 0 sans rencontrer de variable x k ; le chemin de type (c) rencontre
au moins une variable x k . Le graphe de (∃⃗x G) montre que les sous graphes de
la partie à éliminer, correspondant aux chemins de type (c), contiennent beaucoup trop
d’information : ils rassemblent toutes les interprétations de ⃗x telles que ( ∧ n
k=1 y k ⇔ f k (⃗x))
soit vrai pour un certain ⃗y fixé, alors qu’on a juste besoin de savoir si ( ∧ n
k=1 y k ⇔ f k (⃗x))
est satisfiable pour cet ⃗y. Alors que l’information de satisfiabilité sur une forme canonique
est de taille O(1), il est d’abord demandé de calculer un graphe de relation sur ⃗x, qui
est potentiellement une information de taille O(2 m /m) ! L’expérience montre [43] que
pour n > 30, cette méthode ne peut être appliquée à des machines non triviales, ou à des
machines dont la fonction de transition possède un graphe insuffisamment régulier [29].
Figure 22. Graphes de G et de (∃⃗x G).
Dans [120], H. Touati et al. proposent une technique permettant de réduire le coût
du calcul de l’image basé sur l’équation 4.1. L’idée est d’ordonner les variables de ⃗x et ⃗y,
ainsi que les calculs des termes (y k ⇔ f k (⃗x)), de façon à éliminer les variables quantifiées
aussi tôt que possible, et à garder un produit intermédiaire de taille raisonnable. Cette
heuristique est efficace sur beaucoup d’exemples, mais si les composantes du vecteur ⃗ f ont
des supports très semblables, alors l’ordonnancement obtenu ne permet pas une réduction
significative du coût du calcul.