Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

36 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Ces courbes de distribution normalisées montrent que le maximum de la fonction λs.(N n s),
qui semble en 2 2Θ(n) , est obtenu pour une valeur de (s/(2 n −1)) qui converge très vite vers
une constante C ′ , et dont la valeur expérimentale est assez proche de la constante C définie
dans le Théorème 2.5 présenté dans la suite. La distribution normalisée semble converger
vers une fonction nulle partout sauf en C ′ , mais nous n’en avons pas une preuve explicite.
Nous pourrions expliciter N n s en calculant g n (y) = ( ∑ ∞
k=0 N n ky k ), qui est la fonction
génératrice [69] associée à (N n k) k≥0 . L’équation de la fonction génératrice peut s’obtenir à
partir des équations 2.9 et 2.10, ou plus directement à partir de l’égalité
A n = A n−1 ∪{x n }×(A n−1 ×A n−1 −{(t,t) / t ∈ A n−1 }),
et l’utilisation des lemmes élémentaires de dénombrement [69, 122], d’où on obtient :
g n (y) = g n−1 (y)+y(g 2 n−1(y)−g n−1 (y 2 ))
Nous ne sommes pas parvenus à résoudre cette équation. La difficulté du problème vient,
entre autres, que les arbres réduits ne peuvent pas se décrire avec un système de réécriture
régulier [39]. Sans doute des chercheurs plus aguerris y parviendront [122, 115, 61, 62, 2,
3, 33]. Cependant, nous pouvons obtenir la taille moyenne d’un arbre réduit de Shannon
sans expliciter la fonction N n s, comme le montre le théorème suivant.
Théorème 2.5 Soit t n la taille moyenne d’un arbre réduit utilisant tout ou partie des
variables x 1 ,...,x n . On a l’égalité :
c’est à dire :
qui est donc exponentielle par rapport à n.
( n−1 ∏
t n = 2 n k=0(1− 1 )
2 ) −1,
2k +1
t n ≈ 0.63449×2 n ,
Preuve. Soit A n l’ensemble des arbres réduits utilisant tout ou partie des variables
x 1 ,...,x n , et t n la taille moyenne d’un élément de A n . Par définition, on a l’égalité
t n = ( ∑ t∈A n
|t|)/2 2n , d’où on obtient :
2 2n t n = ∑
|t|
t∈A n
= ∑
|t|+ ∑
(|t|+|t ′ |+1)
t∈A n−1 t∈A n−1
t ′ ∈A n−1
t≠t ′
= 2 2n−1 t n−1 + ∑ ∑
(|t|+|t ′ |+1)
t∈A n−1
⎛
= 2 2n−1 t n−1 + ∑ ⎝
t∈A n−1
t ′ ∈A n−1
t ′ ≠t
⎞
( ∑
)
|t|+|t ′ |+1 −2|t|−1⎠
t ′ ∈A n−1