Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

4.3.
DÉCOMPOSITION DU CALCUL DE L’IMAGE 91
function vectochar( f) ⃗ : TDG;
var c ′ : TDG;
let (c,P) = eliminate-and-partition( f) ⃗ in {
case P of {
{} : c ′ = 1;
{ f ⃗ 1 ,..., f ⃗ q } : c ′ = λ⃗y.( ∧ q
k=1 vectochar-cache (⃗ f k )(⃗y));
}
}
return λ⃗y.(c(⃗y)∧c ′ (⃗y));
function vectochar-cache( ⃗ f);
if ⃗ f = [] or ⃗ f = [ ] then return 1;
if is-in-cache?( ⃗ f) then return get-in-cache( ⃗ f);
let c = vectochar-recurse( ⃗ f) in {
put-in-cache( ⃗ f,c);
return c;
}
function vectochar-recurse( ⃗ f);
let (h j ) j∈J such that λ⃗x.( ∨ j∈J h j (⃗x)) = 1 in
return λ⃗y.( ∨ j∈J vectochar( ⃗ f rr h j )(⃗y));
Figure 25. Fonction “vectochar” utilisant un cache.
peut être effectué en O((mlogm) × (n + | ⃗ f|)). La Figure 25 montre alors la nouvelle
fonction “vectochar”.
Au lieu d’utiliser une identification exacte des vecteurs de fonctions, telle que celle proposée
dans [38], nous utilisons une identification étendue [47] basée sur les deux théorèmes
suivants.
Théorème 4.8 Si χ ′ = Img([f 1 ...f k ],χ), alors on a l’identité suivante, où ε k est la
fonction identité ou négation :
Img([ε 1 ◦f 1 ... ε k ◦f k ],χ) = λ⃗y.χ ′ (ε 1 (y 1 ),...,ε k (y k )).
Théorème 4.9 Si χ ′ = Img([f 1 ...f k ],χ), alors on a l’identité suivante, où π est une
permutation des k premiers entiers :
Img([f π(1) ...f π(k) ],χ) = λ⃗y.χ ′ (y π(1) ,...,y π(k) ).