Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

114 CHAPITRE 5. CALCUL DE L’IMAGE RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION
Des expériences [106] utilisant cet algorithme “compose2” ont montré qu’il pouvait
réduire de 10% à 50% le temps de composition par rapport à l’algorithme de composition
“compose1”.
5.3.3 Décomposition de la composition
Les algorithmes de composition “compose1” et “compose2” présentés dans la Section
précédente traversent le graphe g en profondeur d’abord, et calculent du bas vers le haut
la composition g[y 1 ← f 1 ,..., y n ← f n ]. Un cache est associé à “compose1” pour associer
à chaque noeud le résultat partiel de la composition obtenue, et faire ainsi un nombre de
récursion en O(|g|). Le problème est qu’avec cet algorithme, les graphes intermédiaires
associés aux noeuds peuvent devenir très grands et saturer la mémoire, d’où l’impossiblité
de parvenir au résultat final.
L’idée utilisée ici [46] est d’exprimer le terme χ( ⃗ f(⃗y,⃗x)) comme une disjonction de
formules h k (⃗y,⃗x) (1 ≤ k ≤ q) dont les graphes sont plus petits que celui de χ( ⃗ f(⃗y,⃗x)).
L’intérêt de cette décomposition est la transformation suivante :
Pre( f,Cns,χ) ⃗ = λ⃗y.(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧χ( f(⃗y,⃗x))) ⃗ ( q )
∨
= λ⃗y.(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧ h k (⃗y,⃗x) )
k=1
(
∨ q )
= λ⃗y.(∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧h k (⃗y,⃗x) )
k=1
(
∨ q )
= λ⃗y. (∃⃗x Cns(⃗y,⃗x)∧h k (⃗y,⃗x))
k=1
Le terme final signifie que Pre peut être décomposé en la somme de plusieurs termes
beaucoup plus simple. En effet, il n’y a ici plus de composition, et les variables ⃗x peuvent
être ∃–éliminées indépendemment dans chaque composante de la somme. Le problème est
donc de trouver les fonctions h k .
Etant donnés un graphe g et une substitution [y 1 ← f 1 ,..., y n ← f n ], le calcul des
graphes h 1 ,...,h q dont la somme est égale à g[y 1 ← f 1 ,..., y n ← f n ] est effectué par la
fonction “decompose-composition” donnée Figure 36.
Chaque noeud du graphe de g est accessible par plusieurs chemins 2 . Un chemin est
défini par un unique produit (c’est l’argument path dans l’algorithme), constitué des variables
rencontrées de la racine du graphe jusqu’au noeud atteint. Le principe est de
déterminer dans chaque noeud du graphe la somme S de tous les chemins (i.e. les interprétations)
qui permettent d’accéder à celui-ci, de calculer la composition (S ◦ ⃗ f), puis
de propager ce résultat partiel aux noeuds fils. Le regroupement des chemins permet
de factoriser des calculs qui seraient éclatés et reconduits plusieurs fois avec l’algorithme
“compose1” ou “compose2” de la Section précédente.
2 un chemin dans un graphe dénote un ensemble d’interprétations