Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

E.2. MINIMISATION D’UNE FONCTION PARTIELLE 139
dans {x 1 ,...,x n }. On dit qu’une variable x k est inutile si et seulement si il existe un
graphe f ′ qui n’utilise pas x k . Autrement dit, il existe une fonction f ′ pour laquelle x k est
redondante. On a alors le résultat suivant :
Théorème E.1 L’ensemble des fonctions f ′ n’utilisant pas la variable x k et satisfaisant
(g ⇒ f ′ ⇒ h) est égal à l’ensemble des fonctions f ′ satisfaisant (∃x k g) ⇒ f ′ ⇒ (∀x k g).
Preuve. Soit f ′ n’utilisant pas la variable x k et satisfaisant (g ⇒ f ′ ⇒ h). Ceci est
équivalent à dire que d’une part f ′ [x k ← 0] = f ′ [x k ← 1], puisque x k est redondante
dans f ′ , et que d’autre part les formules (g[x k ← 0] ⇒ f ′ [x k ← 0] ⇒ h[x k ← 0]) et
(g[x k ← 1] ⇒ f ′ [x k ← 1] ⇒ h[x k ← 1]) sont des tautologies, de part E.2 et E.3. On
a donc (g[x k ← 0] ⇒ f ′ ⇒ h[x k ← 0]), et (g[x k ← 1] ⇒ f ′ ⇒ h[x k ← 1]), ce qui est
équivalent à (∃x k g) ⇒ f ′ ⇒ (∀x k g).
✷
De ce théorème, on déduit aisément le suivant :
Théorème E.2 L’ensemble des fonctions f ′ satisfaisant (g ⇒ f ′ ⇒ h) et n’utilisant pas
les variables ⃗y est non vide si et seulement si (∃⃗y g) ⇒ (∀⃗y g) est une tautologie. Dans ce
cas, cet ensemble est égal à l’ensemble des fonctions f ′ satisfaisant (∃⃗y g) ⇒ f ′ ⇒ (∀⃗y g).
Ce résultat permet de calculer les supports minimaux de f ′ , ainsi que les fonctions g
et h définissant la fonction partielle f ′ correspondante. Bien entendu, il existe plusieurs
supports minimaux, mais tous ne sont pas optimaux. Par exemple, si le support de g et h
est {x 1 ,...,x 4 }, on peut avoir les supports localement minimaux {x 1 ,x 2 } et {x 2 ,x 3 ,x 4 }.
Afin d’avoir une solution optimale (c’est à dire le maximum de variables inutiles), un
branch and bound est nécessaire. Ceci implique un coût exponentiel, qui peut donc être
rapidement rédhibitoire.
Une fois les variables inutiles éliminées, le problème de la minimisation est réduit à un
certain nombre —un par support minimal— de problèmes qui se formulent comme suit :
(2) Etant donnés deux graphes g et h, trouver un graphe f ′ tel que
(g ⇒ f ′ ⇒ h). (E.4)
Il est ici entendu que le support de f ′ est nécessairement inclus dans celui de g et h,
c’est à dire qu’il n’y pas de variable inutile.
Si (g ⇒ h) est une tautologie, alors l’ensemble des fonctions f ′ satisfaisant (g ⇒ f ′ ⇒ h)
est non vide, et il s’écrit (g∨(h∧p)) , où p est un paramètre. On revient donc au problème
ci-dessous, et qui fait l’objet de la section suivante :
(3) Calculer le graphe minimal dans l’ensemble de graphes représenté par la formule
paramétrée f(⃗x,p).