Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

110 CHAPITRE 5. CALCUL DE L’IMAGE RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION
Preuve. Il suffit de constater que la composition se réduit à un calcul de
Pre( f,1,χ). ⃗ Tout ensemble de fonctions f 1 ,...,f n ,g peut s’écrire sous la forme
λ(⃗y@⃗x).f 1 (⃗y),...,λ(⃗y@⃗x).f n (⃗y),λ⃗y.g(⃗y). Il suffit pour cela d’étendre le système des variables
utilisées, ce qui est fait en O(|g| + ∑ n
k=1 |f k |), donc polynomialement. Alors on a
Pre(λ(⃗y@⃗x).[f 1 (⃗y) ... f n (⃗y)],1,λ⃗y.g(⃗y)) = λ⃗y.(∃⃗x g(f 1 (⃗y),...,f n (⃗y))), ce dernier terme
s’écrivant directement λ⃗y.g(f 1 (⃗y),...,f n (⃗y)), c’est à dire la composition de g et des fonctions
f 1 ,...,f n .
✷
Nous sommes donc de nouveau confronté, comme pour la fonction Img dans le
Chapitre 4, à un problème au moins exponentiel en mémoire dans le pire cas pour un
ordre à priori fixé, ou même avec un ordre optimal donné dynamiquement. En fait, ce
nouveau problème est intrinsèquement plus complexe que celui qui consiste à évaluer Img.
Ceci est montré par le Théorème 5.3, qui affirme qu’on peut transformer polynomialement
le calcul de Img en un calcul de Pre, alors que la réciproque est fausse. En effet,
en reprenant les notations de la preuve de 5.3, il est impossible de décrire la composition
χ ′ (⃗g(⃗y,⃗x)) à partir des seuls composants ⃗g, χ ′ , et Img. Pour cela, constatons que
Img( ⃗ f,χ) calcule l’image de ⃗ f sur un ensemble χ, et Pre( ⃗ f,1,χ) son image réciproque sur
χ : si on veut utiliser Img pour traduire Pre, il faut disposer de la fonction réciproque
⃗f −1 . Mais le calcul de ⃗ f −1 est lui-même NP–difficile (on peut même montrer que le calcul
de l’image de ⃗ f sur 1 se réduit au calcul de ⃗ f −1 ). Un argument plus simple est de voir
que si ⃗ f est une fonction injective de {0,1} m dans {0,1} n , alors on obtient une fonction
(évidemment partielle) ⃗ f −1 de {0,1} n dans {0,1} m . Mais si ⃗ f n’est pas injective, alors il
faut considérer ⃗ f −1 comme une fonction de {0,1} 2n dans {0,1} m . C’est ici que se produit
un saut exponentiel, qui montre la non-réduction polynomiale du problème Pre à celui de
Img. Aussi calculer Pre( ⃗ f,1,χ) est strictement plus difficile que calculer Img( ⃗ f,χ).
Théorème 5.3 Le problème de l’évaluation de Img se réduit linéairement à celui de
l’évaluation de Pre.
Preuve. Soit ⃗ f = [f 1 ...f n ] de {0,1} m dans {0,1} n , et χ une fonction booléenne sur
{0,1} m non nulle. Etant donnés les DAGs de ⃗ f et χ, nous allons montrer que le calcul
de Img( ⃗ f,χ) se transforme polynomialement en l’évaluation de Pre(⃗g,1,χ ′ ), où ⃗g et χ ′
sont précisées ci-après. Dans la suite, ⃗y dénotera un point [y 1 ...y 2n+1 ] de {0,1} 2n+1 , et
⃗x dénotera un point de {0,1} m . Soit ⃗g la fonction de {0,1} 2n+1 ×{0,1} m dans {0,1} 2n+1
définie par :
⃗g = λ⃗y.λ⃗x.[y 1 ... y n f 1 (⃗x) ... f n (⃗x) χ(⃗x)]
Soit χ ′ = λ⃗y.(y 2n+1 ∧ ( ∧ n
k=1 (y k ⇔ y n+k ))). C’est une fonction non nulle sur {0,1} 2n+1 .
Alors on a:
Pre(⃗g,1,χ ′ ) = λ⃗y.(∃⃗x χ ′ (⃗g(⃗y,⃗x)))
( n
)
∧
= λ⃗y.(∃⃗x χ(⃗x)∧ y k ⇔ f k (⃗x) )
k=1
= λ⃗y.Img( ⃗ f,χ)(y 1 ,...,y n )
Finalement, comme Pre(⃗g,1,χ ′ )(⃗y) ne dépend que des variables y 1 ,...,y n , on peut écrire
Img( ⃗ f,χ) = λ[y 1 ...y n ].Pre(⃗g,1,χ ′ )(y 1 ,...,y n ,0 1 ,...,0 n+1 ). Choisissonslesn+1variables