Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

90 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
La complexité de cet algorithme dépend du choix de la couverture (h j ) j∈J . Si à chaque
étape la couverture (h j ) j∈J contient au moins deux ensembles h 1 et h 2 tels que h 1 ⊈ h 2 et
h 2 ⊈ h 1 , l’algorithme se termine. Si à chaque étape la couverture (h j ) j∈J est une partition,
le nombre de récursions est borné par le nombre d’éléments du domaine, c’est à dire 2 m .
En utilisant un cache qui conserve les calculs intermédiaires [38], ce nombre de récursions
peut être radicalement réduit. Ce cache conserve les couples ( ⃗ f,χ) tels que χ = Img( ⃗ f,1).
Au lieu de prendre en compte le vecteur ⃗ f en entier, cet algorithme de cache peut être
raffiné en utilisant les propriétés suivantes [47] :
Théorème 4.5 La fonction caractéristique de Img([f 1 ... f k−1 ε(1) f k+1 ... f n ],χ) est
où χ ′ = Img([f 1 ... f k−1 f k+1 ... f n ],χ).
λ⃗y.(ε(y k )∧χ ′ (y 1 ,...,y k−1 ,y k+1 ,...,y n )),
Théorème 4.6 La fonction caractéristique de Img([f 1 ... f k−1 ε(f j ) f k+1 ... f n ],χ) est
λ⃗y.((y j ⇔ ε(y k ))∧χ ′ (y 1 ,...,y k−1 ,y k+1 ,...,y n )),
où χ ′ = Img([f 1 ... f k−1 f k+1 ... f n ],χ).
Théorème 4.7 Soit χ ′ 1 et χ ′ 2 les fonctions caractéristiques de Img( ⃗ f 1 ,χ 1 ) et Img( ⃗ f 2 ,χ 2 ).
Alors la fonction caractéristique de Img(λ(⃗x 1 @⃗x 2 ).( ⃗ f 1 (⃗x 1 )@ ⃗ f 2 (⃗x 2 )),χ 1 ×χ 2 ) est :
λ(⃗y 1 @⃗y 2 ).(χ ′ 1(⃗y 1 )∧χ ′ 2(⃗y 2 )).
Le Théorème 4.5 permet d’éliminer les composantes constantes de f. ⃗ Le Théorème 4.6
affirme que si plusieurs composantes de f ⃗ sont égales ou complémentaires, toutes ces composantes
sauf une peuvent être éliminées. Ces deux processus d’élimination réduisent
le nombre d’entrées dans le cache, et augmente les possibilités de reconnaissance, d’où
réduction du nombre de recursions. Le Théorème 4.7 signifie que si on peut trouver
une partition P = { f ⃗ 1 ,..., f ⃗ q } des composantes de f, ⃗ telle que les vecteurs f ⃗ k aient des
supports de variables disjoints, alors calculer Img( f,1) ⃗ revient à calculer les q fonctions
caractéristiques des ensembles Img( f ⃗ k ,1), puis à construire le produit cartésien (i.e. conjonction
avec renommage des variables) de ces fonctions caractéristiques [44]. De cette
façon, le nombre maximum de récursions est réduit de 2 m à ( ∑ q
k=1 2sup k ), où supk est la
taille du support de f ⃗ k .
Soit “eliminate-and-partition” la fonction qui, appliquée à un vecteur ⃗ f, retourne un
couple (c,P), tel que : c est la fonction caractéristique relative aux composantes éliminées
de ⃗ f (par convention, c = 1 si aucune composante de ⃗ f ne peut être éliminée), et P
est la partition des composantes restantes de ⃗ f en vecteurs de supports disjoints. Notons
que le processus d’élimination utilisant les Théorèmes 4.5 et 4.6 peut être effectué en
O(nlogn) avec les TDGs, mais il est plus coûteux avec les BDDs (voir la discussion sur le
test d’identification étendu page suivante). Le partitionnement des composantes restantes