Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

28 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
différentes mais équivalentes. Nous étudierons les performances de cette représentation
dans la Section 2.6.1, à la fin de ce chapitre.
Un système de réécriture canonique permet de montrer qu’une formule est valide en la
réduisant à sa forme canonique, et en vérifiant que celle-ci est syntaxiquement égale à celle
de la tautologie, que nous noterons 1. Jusqu’à récemment on ne connaissait que relativementpeudeformescanoniquesdelalogiquepropositionnelle:
lestablesdevérité, laforme
canonique de Blake [26], la forme polynomiale, appelée aussi somme exclusive de produits,
ou forme de Reed-Muller [26, 109] (voir Section 2.6.2). Or ces formes présentent toutes le
défaut d’être très peu compactes, dans le sens où le nombre de caractères nécessaires pour
écrire la forme canonique d’une formule f peut être très grand par rapport au nombre
de caractères de f. Plus récemment, de nouvelles formes canoniques ont été définies, les
graphes de décision [27] (BDD pour Binary Decision Diagrams) et les graphes de décision
typés [18] (TDG pour Typed Decision Graphs).
Nous présentons ici ces deux formes canoniques, BDDs et TDGs. Nous présenterons
aussi d’autres formes canoniques dérivées de l’expansion de Shannon. Nous donnons ensuite
les complexités des algorithmes manipulant les BDDs et TDGs. Dans la suite, sauf
exception précisée, on ne considère que des formules sans quantificateur.
2.2 Expansion de Shannon
Soit f une formule propositionnelle. On appelle expansion de Shannon de f par rapport
à la variable x k le couple de formules f[x k ← 0] et f[x k ← 1]. L’expansion de Shannon 1
possède la propriété suivante :
f = ((¬x k ∧f[x k ← 0])∨(x k ∧f[x k ← 1])) (2.1)
Nous étendons ces définitions aux fonctions booléennes grâce à la correspondance existant
entre les formules et les fonctions. L’expansion de Shannon de la fonction
booléenne λ[x 1 ...x n ].f(x 1 ,...,x n ) par rapport à la variable x 1 est le couple de fonctions
( λ[x 2 ...x n ].f(0,x 2 ,...,x n ),λ[x 2 ...x n ].f(1,x 2 ,...,x n ) ) . Le théorème de Shannon
ci-dessous montre que l’expansion de Shannon est l’unique solution de l’équation 2.1.
Théorème 2.1 Soit f une fonction booléenne de {0,1} n dans {0,1}. Il existe un couple
unique (f 0 ,f 1 ) de fonctions booléennes de {0,1} n−1 dans {0,1} telle que
f(x 1 ,x 2 ,...,x n ) = (¬ x 1 ∧f 0 (x 2 ,...,x n ))∨(x 1 ∧f 1 (x 2 ,...,x n )).
Preuve. L’existenced’untelcoupledefonctionsadéjàétémontrée. Montronsmaintenant
son unicité. Supposons qu’il existe un couple (f ′ 0,f ′ 1) possédant la même propriété. Pour
tous x 2 ,...,x n , on a :
f(0,x 2 ,...,x n ) = (¬0∧f 0 (x 2 ,...,x n ))∨(0∧f 1 (x 2 ,...,x n ))
1 Par abus de langage, le terme ((¬x k ∧f[x k ← 0])∨(x k ∧f[x k ← 1])) est aussi appelé expansion de
Shannon de la formule f par rapport à x k . La formule f[x k ← 1] (respectivement la formule f[x k ← 0])
est aussi appelée le cofacteur de f par rapport à x k (respectivement par rapport à ¬x k ).