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4.5. L’OPÉRATEUR “CONSTRAIN” 95 enfin construire les n DAGs (χ(⃗x)∧f k (⃗x))∨(¬χ(⃗x)∧v k ), ce qui est en O(|χ|× ∑ n k=1 |f k |). Finalement, calculer les DAGs de ( ⃗ f srr χ) est en O(|χ| × ∑ n k=1 |f k |), ce qui est très satisfaisant (cette complexité est similaire à celle de n’importe quel opérateur booléen usuel). Mais nous voulons un restricteur d’image strict srr tel que la taille des DAGs de ( ⃗ f srr χ) demeurent relativement petite comparée à celle des DAGs de ⃗ f et χ. UnprojecteurP quiminimiselatailledesgraphesde( ⃗ f◦λ⃗x.P(χ,⃗x))n’estcertainement pas polynomial. Nous allons donc étudier le problème sur les arbres de Shannon. Bien sûr, la seule relation entre la taille de l’arbre de Shannon et la taille de son graphe associé est une inégalité. Ceci signifie que minimiser les arbres de Shannon de ( ⃗ f ◦ λ⃗x.P(χ,⃗x)) ne donne pas une solution pour minimiser les graphes de ( ⃗ f ◦λ⃗x.P(χ,⃗x)), mais cela peut constituer une assez bonne approximation en pratique. Nous présentons dans la suite un restricteur d’image strict appelé “constrain”, qui est généré par un projecteur bien adapté. 4.5 L’opérateur “Constrain” Afin de présenter le restricteur d’image strict “constrain”, nous définissons d’abord le projecteurPPI (pourPlus Proche Interpretation). Cettefonctionestdéfiniesurl’ensemble des interprétations vis-à-vis d’une fonction booléenne χ ≠ 0. Nous donnons ici deux présentations de PPI. La première, opérationelle (elle inspire directement l’algorithme de l’opérateur “constrain”), est basée sur les définitions de satisfiabilité et de validité. La seconde, plus intuitive, utilise la définition d’une hyper-distance sur les interprétations. 4.5.1 Présentation logique de la Plus Proche Interpretation Puisque χ est une formule de longueur finie, son support est fini. Comme les variables propositionnelles {x 1 ,x 2 ,...} sont ordonnées, il existe un indice m tel que ce support soit inclus dans x 1 ,...,x m . Pour la première présentation, nous démontrons d’abord le Lemme suivant : Lemme 4.1 Soit χ ≠ 0, et [x 1 ...x m ] ∈ {0,1} m tel que χ(x 1 ,...,x m ) = 0. Alors il existe un unique indice k (1 ≤ k ≤ m), tel que les formules suivantes soient valides : (∀y k+1 ...∀y m ¬χ(x 1 ,...,x k ,y k+1 ,...,y m )), (∃y k+1 ...∃y m χ(x 1 ,...,x k−1 ,¬x k ,y k+1 ,...,y m )). et Preuve. Supposons qu’un tel indice k n’existe pas. Alors pour 1 ≤ j ≤ m, la formule ℘ j = (∃y j+1 ...∃y m χ(x 1 ,...,x j ,y j+1 ,...,y m ))∨ (∀y j+1 ...∀y m ¬χ(x 1 ,...,x j−1 ,¬x j ,y j+1 ,...,y m )) estvalide. Pourj = m, cecisignifieque(χ(x 1 ,...,x m )∨¬χ(x 1 ,...,x m−1 ,¬x m ))estvalide. Comme par hypothèse χ(x 1 ,...,x m ) = 0, la formule χ(x 1 ,...,x m−1 ,¬x m ) doit être égale à 0. On en déduit que (∀y m ¬χ(x 1 ,...,x m−1 ,y m )) est valide. En combinant ce résultat
96 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION avec la validité de (℘ j−1 ), on obtient que (∀y m ¬χ(x 1 ,...,x m−2 ,¬x m−1 ,y m )) est valide. On en déduit que la formule (∀y m−1 ∀y m ¬χ(x 1 ,...,x m−2 ,y m−1 ,y m )) est valide. En poursuivant ce raisonnement pour j décroissant, on montre que la formule (∀y 1 ...∀y m ¬χ(y 1 ,...,y m )) est valide, c’est à dire que χ = 0, ce qui est contradictoire. Donc un tel indice k existe. Supposons maintenant qu’il existe deux indices k et k ′ satisfaisant la propriété donnée. La formule (∀y k+1 ...∀y m ¬χ(x 1 ,...,x k ,y k+1 ,...,y m )) est valide par définition de k, ainsi que la formule (∃y k ′ +1...∃y m χ(x 1 ,...,x k ′ −1,¬x k ′,y k ′ +1,...,y m )) par définition de k ′ , ce qui implique que (∃y k ′...∃y m χ(x 1 ,...,x k ′ −1,y k ′,...,y m )) est valide. Donc on doit avoir k ′ < k +1. De la même façon, on obtient k < k ′ +1, d’où k = k ′ . ✷ A partir de ce lemme, nous définissons la suite de points (⃗x n ) n≥0 , associée à un point ⃗x = (x 1 ,x 2 ,...) de {0,1} ℵ et une fonction χ ≠ 0, par : • ⃗x 0 = ⃗x • si ⃗x n satisfait χ, alors ⃗x n+1 = ⃗x n • si ⃗x n = (x n 1,x n 2,...) ne satisfait pas χ, alors comme χ ≠ 0, le Lemme 4.1 nous assure qu’il existe un unique indice k tel que (∀y k+1 ...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k,y k+1 ,...,y m )), (∃y k+1 ...∃y m χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k+1 ,...,y m )). On pose alors : ⃗x n+1 = (x n 1,x n 2,...,x n k−1,¬x n k,x n k+1,...). Théorème 4.12 Etant donnée une formule finie χ ≠ 0 et un point ⃗x de {0,1} ℵ , la suite (⃗x n ) n≥m associée à ⃗x est constante, et est telle que χ(⃗x m ) = 1. Preuve. Si il existe un indice n tel que n < m et que ⃗x n satisfait χ, alors par définition la suite de points devient constante et ⃗x m satisfait χ. Supposons maintenant que pour les indices n, n < m, les points ⃗x n ne satisfont pas χ. Quand ⃗x n ne satisfait pas χ, ⃗x n+1 est obtenue en inversant la k–ième composante de ⃗x n , où l’indice k est défini de façon unique par le Lemme 4.1. Soit ⃗x n = (x n 1,x n 2,...) et ⃗x n+1 = (x n 1,x n 2,...,x n k−1,¬x n k,x n k+1,...). Si ⃗x n+1 ne satisfait pas χ, on doit trouver l’indice k ′ permettant de calculer ⃗x n+2 . Par définition de k, la formule (∃y k+1 ...∃y m χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k+1 ,...,y m )) est valide. Ceci implique que pour k ′ < k, la formule est une antilogie, ainsi que la formule (∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k ′,y k ′ +1,...,y m )) (∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k ′ +1,...,y m )) pour k ′ = k. Comme k ′ est tel que (∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,y k ′ +1,...,y m )), on doit avoir k ′ > k. Notons Ind(⃗x n ) l’indice k qui est utilisé pour calculer ⃗x n+1 à partir de ⃗x n . On a Ind(⃗x n ) ≤ m, et nous venons de montrer que Ind(⃗x n+1 ) > Ind(⃗x n ), c’est à dire et
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