Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

62 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
qui est composée de la somme de n 2 produits de taille 2, soit une taille de 2n 2 .
Calculer la négation de la somme de produit ( ∨ n
k=1 ( ∧ m k
j=1q j k )) consiste à écrire en somme
de produits l’expression ( ∧ n
k=1 ( ∨ m k
j=1¬q j k )). Il faut distribuer la conjonction sur tous les
produits, pour obtenir potentiellement ( ∏ n
k=1 m k ) produits de taille n, soit une complexité
non polynomiale. Par exemple, considérons la somme de produits ( ∨ n
k=1 ( ∧ n
j=1 x k j)), où
chaque variable x k j n’apparait qu’une seule fois. Elle contient exactement n 2 variables, et
sa taille est n 2 . Sa négation est ( ∧ n
k=1 ( ∨ n
j=1 ¬x k j)), dont la somme de produits s’écrit
⎛ (
∨ n
) ⎞ ∧
⎝ ¬x k ⎠
j k
(j 1 ,...,j n)∈[1,n] n k=1
ce qui représente une somme de n n produits de taille n, soit une somme de produits de
taille n n+1 . Remarquons de plus que cette formule se représente efficacement par un BDD
(ou TDG) de taille n 2 avec l’ordre x k j < x k j+1 (avec 1 ≤ j ≤ n et 1 ≤ k ≤ n) et x k n < x k+1
1
(avec 1 ≤ k < n). Ce n’est donc pas la “complexité” de cette formule qui attribue une
négation de coût exponentiel à sa somme de produits.
L’implication, l’équivalence et la somme exclusive sont de même complexité, puisque
ces opérations peuvent s’exprimer en utilisant la négation (exponentielle) et la disjonction
(polynomiale). Par exemple, (f ⇒ 0) = ¬f, (f ⇔ 0) = ¬f, et (f ⊕1) = ¬f. ✷
Théorème 2.22 Si les fonctions booléennes sont représentées par des sommes de produits,
l’élimination existentielle d’un nombre quelconque de variables est linéaire, et
l’élimination universelle d’une variable (respectivement d’un nombre quelconque de variables)
est quadratique (respectivement exponentiel).
Etudions les rapports entre la taille d’une somme de produits et celle de son graphe. Si
la formule ( ∧ n
k=1 (x 2k−1 ⇔ x 2k )) peut se représenter linéairement par un BDD de taille 3n,
la somme de produits correspondante est exponentielle, car constituée de 2 n produits de
taille 2n. On pourra rétorquer que pour un mauvais ordre, le graphe de cette expression
est de taille exponentielle. Considérons alors la formule (x 1 ⊕x 2 ⊕...⊕x n ). Elle dénote
une fonction symétrique, égale à 1 si et seulement si un nombre impair de ses variables
prennent la valeur 1. Quel que soit l’ordre considéré, la taille de son graphe de décision est
en O(n). Par contre, sa somme de produits est constituée de la somme de 2 n−1 produits de
taille n. Il existe donc des fonctions représentées par un graphe polynomial quel que soit
l’ordre de ses variables, qui n’admettent qu’une représentation exponentielle en somme de
produits. La réciproque, à savoir existe-il des fonctions polynomialement représentées par
une somme de produits et qui n’admettent pas de représentation polynomiale sous forme
de graphe, est une question qui reste ouverte 7 . De très récents développements semblent
montrer que cette réciproque est vraie.
2.6.2 Graphes et sommes exclusives de produits
Nous comparons ici les graphes et la forme somme exclusive de produits, ou forme de
Reed-Muller, dont l’idée originale a été introduite dans [117], et qui a été appliquée à la
7 On ne peut que constater que le passage d’une somme de produits à un graphe est nécessairement
NP–difficile, car savoir si une somme de produits est une tautologie est un problème NP–complet, et les
graphes sont canoniques.