Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

D.2. POUVOIRS DE DÉNOTATION 135
Théorème D.3 Les pouvoirs de dénotation d’une fonction paramétrée et d’un intervalle
non vide sont égaux.
Preuve. Considérons une fonction à un seul paramètre f(⃗x,p). Il est clair que si elle
peut se représenter par une fonction partielle, son domaine est l’ensemble des ⃗v pour
lesquels f(⃗v,p) ne dépend pas de p, soit D = {⃗v ∈ {0,1} n / f(⃗v,0) = f(⃗v,1)}, ou encore
D = (f(⃗x,0) ⇔ f(⃗x,1)), et la valeur est la fonction f(⃗x,0). Il reste à s’assurer que
f(⃗x,p) dénote toujours ((¬D) → {0,1}) sur (¬D). Ceci est le cas car pour tout élément
⃗v ∈ (¬D), on a nécessairement, soit f(⃗v,p) = p, soit f(⃗v,p) = ¬p. Etant donnée une
fonction g quelconque de ((¬D) → {0,1}), on peut toujours définir la fonction p sur (¬D)
en posant p(⃗v) = g(⃗v) si f(⃗v,p) = p, et p(⃗v) = ¬g(⃗v) si f(⃗v,p) = ¬p.
Soit f(⃗x,p 1 ,...,p m ) une fonction à plusieurs paramétres. Le même raisonnement
s’applique, en définissant la fonction partielle par son domaine D = ((∀⃗p f) ⇔ (∃⃗p f)), et
sa valeur f(⃗x,0,...,0).
✷
Ces quatres techniques ne peuvent pas représenter tous les ensembles. Par exemple,
l’ensemble {⇔,⊕} ne peut pas être décrit par une fonction partielle, car comme
les fonctions ⇔ et ⊕ diffèrent pour toutes interprétations, ceci imposerait un domaine
D = 0,soitunefonctionpartiellecontenanttouteslesfonctions. Cetteremarquepermetde
caractériserlesensemblesnonvides{f 1 ,...,f m }quipeuventêtrereprésentésparunefonction
partielle (ou un intervalle, ou une fonction de Skolem, ou une fonction paramétrée) :
il faut et il suffit que l’ensemble D (qui est par ailleurs le domaine de la fonction partielle
correspondante) défini par
D =
⎛
⎞
∧
⎜
⎝ (f i ⇔ f j ) ⎟
⎠
1≤i≤m
1≤j≤m
soit tel que l’ensemble des fonctions f k restreintes à (¬D) est égal à ((¬D) → {0,1}).
Il faut ainsi noter que seuls les ensembles de taille d’une puissance de 2 peuvent être
éventuellement représentés par une fonction partielle. Plus précisément, un ensemble non
vide de fonctions qui est représentable par une fonction partielle, est entièrement défini
par la donnée de trois ensembles disjoints recouvrant {0,1} n : un ensemble D 0 où toute
fonction prend la valeur 0, un ensemble D 1 où toute fonction prend la valeur 1, et un
ensemble D ⊥ tel que toute fonction de (D ⊥ → {0,1}) est la restriction à D ⊥ d’une des
fonctions de l’ensemble. Une fois fixé D ⊥ , il y a 2 2n −|D ⊥ |
façon de choisir D 0 et D 1 . On
peut donc représenter
∑2 n ( ) 2
n
2 2n −k
k=0
k
ensembles de fonctions, c’est à dire 3 2n ensembles. Aussi sur l’espace des fonctions
({0,1} n → {0,1}), seules 3 2n de ses parties peuvent être dénotées par une fonction partielle,
ce qui est négligeable devant les 2 22n ensembles possibles.