Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

4.6. CHOIX D’UNE COUVERTURE 101
la partition (g 0 ,g 1 ) telle que g 0 = λ⃗y.(¬y k ) et g 1 = λ⃗y.y k . Ce couple sépare le codomaine
en deux parties de même taille. On a (g 0 ◦ ⃗ f) = ¬f k , et (g 1 ◦ ⃗ f) = f k . Si srr est un
restricteur d’image strict, alors le vecteur ( ⃗ f srr ε(f k )) est égal à
([f 1 ...f k−1 ] srr ε(f k )) @ [ε(1)] @ ([f k+1 ...f n ] srr ε(f k )).
Ainsi la fonction “vectochar-recurse” devient :
function vectochar-recurse( ⃗ f) : TDG;
let [f 1 ...f n ] = ⃗ f and
k = choose-index( ⃗ f) and
⃗f ′ = [f 1 ...f k−1 f k+1 ...f n ] in
return λ⃗y.( (¬y k ∧vectochar( ⃗ f ′ srr ¬f k )(y 1 ,...,y k−1 ,y k+1 ,...,y n )) ∨
(y k ∧vectochar( ⃗ f ′ srr f k )(y 1 ,...,y k−1 ,y k+1 ,...,y n )));
Figure 29. Premier algorithme de calcul de Img.
Dans cet algorithme, la fonction “choose-index” retourne un index k. Par exemple,
“choose-index”pourraittoujoursrendre1. Cettefonctionpeutplusintelligemmentutiliser
des heuristiques afin d’obtenir un index k, qui, dans la mesure du possible, permettra
d’accélérer l’apparition de constantes dans ( ⃗ f ′ srr ε(f k )). On peut par exemple choisir
de retourner l’index de la composante qui possède le plus petit graphe, ou l’index de la
composante ayant le moins de variables.
Grâce a cette fonction “vectochar-recurse”, le nombre de récursion de “vectochar” est
borné par le nombre d’éléments de Img( ⃗ f,1). Donc si à chaque étape, la machine n’atteint
qu’un relativement petit nombre d’états, cet algorithme est très efficace.
4.6.2 Utilisation d’un partitionnement du domaine
Choisissons [47] la partition (h 0 ,h 1 ) tel que h 0 = λ⃗x.(¬x k ) et h 1 = λ⃗x.x k . Ce couple sépare
le domaine en deux parties de tailles égales. Si srr est un restricteur d’image strict, nous
avons ( ⃗ f srr h 0 ) = ⃗ f[x k ← 0] et ( ⃗ f srr h 1 ) = ⃗ f[x k ← 1], qui sont calculées en O(| ⃗ f|).
Ainsi la fonction “vectochar-recurse” devient :
function vectochar-recurse( ⃗ f) : TDG;
let x be a variable occurring in ⃗ f in
return λ⃗y.(vectochar( ⃗ f[x ← 0]) ∨ vectochar( ⃗ f[x ← 1]));
Figure 30. Deuxième algorithme de calcul de Img.
La variable x n’apparait pas dans les graphes de ( ⃗ f srr ¬x) et de ( ⃗ f srr x). Si nous
voulons exploiter le cache au maximum, nous devons éviter que les vecteurs qui y sont
conservés soient composés de nouveaux noeuds. En choisissant la variable de plus petit
ordre dans ⃗ f, le calcul de ⃗ f[x ← 0] et ⃗ f[x ← 1] est seulement en O(k), où k est le nombre
de composantes de ⃗ f, et aucun noeud n’est créé. Ce processus correspond à un parcours
parallèle en profondeur d’abord des graphes de ⃗ f. Les seuls noeuds qui sont créés sont