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E.4. RÉDUCTION POLYNOMIALE : L’OPÉRATEUR “RESTRICT” 141 function restrict(f,D) : TDG; if D = 0 then error; return rstr(f,D); function rstr(f,D) : TDG; if D = 1 or f = 0 or f = 1 then return f; let x = D.root in { if D[x ← 0] = 0 then return rstr(f[x ← 1],D[x ← 1]); if D[x ← 1] = 0 then return rstr(f[x ← 0],D[x ← 0]); if f[x ← 0] = f[x ← 1] then return rstr(f,D[x ← 0]∨D[x ← 1]); return (¬x∧rstr(f[x ← 0],D[x ← 0]))∨(x∧rstr(f[x ← 1],D[x ← 1])); } Figure 38. Fonction “restrict”. Théorème E.3 Soient f et D deux fonctions booléennes avec D ≠ 0. Alors pour tout ⃗x tel que D(⃗x) = 1, on a (f⇓D)(⃗x) = f(⃗x). Théorème E.4 Soient f et D deux fonctions booléennes avec D ≠ 0. L’arbre réduit de Shannon de (f⇓D) est de taille inférieure ou égale à celui de f. Preuve. Par induction sur le nombre de variables utilisées dans f et D. La fonction “restrict” qui opère sur les graphes utilise un cache afin d’éviter les calculs redondants, d’où une complexité en O(|f|×|D|). Le pendant du Théorème E.4 pour les graphes n’est évidemment pas vrai. La fonction “restrict” opérant sur les graphes doit donc comparer les tailles des graphes de f et de (f⇓D) et retourner le plus petit, avec priorité à celui de (f⇓D). La Figure 39 montre un exemple d’application de l’opérateur “restrict” sur un arbre réduit de Shannon 1 . ✷ Figure 39. Exemple d’application de l’opérateur “restrict”. 1 Il ne faut pas confondre ⇓ et l’opérateur ↓ présenté Section 4.5.3. Il est vrai que ↓ assure que pour toute fonction f de ({0,1} m → {0,1}) et toute fonction χ ≠ 0, on a (∀⃗x χ(⃗x) ⇒ (f(⃗x) ⇔ (f↓χ)(⃗x))), tout comme l’opérateur ⇓ de part le Théorème E.3. Mais ↓ assure en plus que pour toute fonction ⃗ f de ({0,1} m → {0,1} n ) et toute fonction χ ≠ 0, on a Img( ⃗ f,χ) = Img( ⃗ f↓χ,1), ce qui n’est absolument pas le cas pour ⇓.
142 ANNEXE E. RÉDUCTION ET MINIMISATION
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THESE présentée pour obtenir le t
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A mes parents A Toi, si délicieuse
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2 2.4.4 Forme sans quantificateur d
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Liste de Figures Représentation de
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Liste de Tableaux Représentation d
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INTRODUCTION 9 Introduction Motivat
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INTRODUCTION 11 la vérification de
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INTRODUCTION 13 Le Chapitre 2 étud
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Partie I Logique propositionnelle q
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18 CHAPITRE 1. LOGIQUE PROPOSITIONN
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28 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES
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Chapitre 3 Problèmes sur les machi
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3.2. COMPARAISON DE MACHINES SÉQUE
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3.2. COMPARAISON DE MACHINES SÉQUE
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3.3. VÉRIFICATION DE PROPRIÉTÉS
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3.4. MINIMISATION DE MACHINES SÉQU
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3.5. CONCLUSION 83 suivants.
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Chapitre 4 Calcul de l’image d’
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4.2. CALCUL DIRECT DE IMG( ⃗ F,χ
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4.3. DÉCOMPOSITION DU CALCUL DE L
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Page 153 and 154: 150 BIBLIOGRAPHIE [108] D. E. Ross,
Page 155 and 156: 152 BIBLIOGRAPHIE
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Page 159: 156 INDEX redondante, 80 vectochar,
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