Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

102 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
ceuxutilisésparlesfonctionscaractéristiquesconservéesdanslecache. Doncsilesgraphes
du vecteur initial ⃗ f sont relativement petits, ou si il y a beaucoup de partages entre ces
graphes, alors cet algorithme est très efficace. Comme les vecteurs pris comme entrée par
la fonction “vectochar-recurse” sont construits à partir des sous-graphes du vecteur initial
⃗f, le nombre de recursions de “vectochar” est borné par ∏ n
k=1 |f k |, c’est à dire exponentiel
par rapport à n. En fait, nous pensons que le nombre de récursions ne dépend que de | ⃗ f|,
évidemment de façon non polynomiale.
4.7 Résultats expérimentaux et discussion
4.7.1 L’algorithme final
L’algorithme qui calcule l’ensemble des états valides d’une machine M est donné cidessous.
Le nombre d’itérations de la boucle while est le plus long chemin acyclique
(partant d’un état initial) du graphe d’états de la machine.
function compute-valid(n,m,r,ω,(Cns, ⃗ f),Init) : TDG;
var Valid, New, Current : TDG;
Valid = Init;
New = Init;
while (New ∧ Cns) ≠ 0 do {
Current = New;
let Range = vectochar( ⃗ f↓(Current∧Cns)) in {
New = Range ∧¬ Valid;
Valid = Valid ∨ New;
}
}
return Valid;
Figure 31. Première fonction “compute-valid”.
A chaque étape, Current contient tous les états nouveaux dernièrement découverts
(réunis dans l’ensemble New). On peut ajouter à Current des états ayant déjà été
découverts (ces états appartiennent à Valid) sans modifier la correction de calcule-valid.
Donc l’algorithme demeure correct si on choisit Current tel que New ⊂ Current ⊂ Valid.
Comme la taille du vecteur ( ⃗ f↓(Current ∧ Cns)) est en O(| ⃗ f| × |Current| × |Cns|), une
idée [43, 44] naturelle pour réduire le coût de l’algorithme est de choisir un graphe Current
aussi petit que possible, tout en conservant la correction de l’algorithme.
Pourréduirelecoûtdel’algorithmeilsuffitdechoisirlegrapheCurrent minimaltelque
(New ⇒ Current ⇒ Valid). Mais ceci est un problème NP–difficile (voir le problème de la
minimisation Section E.2). Nous utilisons donc une fonction “between” non optimale [43]
possédant une complexité en O(|New|+|Valid|). De cette façon, on obtient l’algorithme